Question

已知直線兩直線l₁：xcosα+

1

2

y-1=0；l₂：y=xsin（a+

π

6

），△ABC中，內角A，B，C對邊分別為a，b，c，a=2

3

，c=4，且當a=A時，兩直線恰好相互垂直；
（Ⅰ）求A值；
（Ⅱ）求b和△ABC的面積．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用,余弦定理,直線的一般式方程與直線的垂直關系

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質,解三角形

分析：（Ⅰ）首先利用直線垂直的充要條件求出三角函數(shù)的關系式，進一步利用三角函數(shù)關系式的恒等變換，把函數(shù)關系式變形成鄭先興函數(shù)，進一步求出角A的值．
（Ⅱ）利用上步的結論，利用余弦定理求出b的大小，進一步利用三角形的面積公式求出三角形的面積．

解答： 解：（Ⅰ）當：α=A時，直線 l₁：xcosα+

1

2

y-1=0，l₂：y=xsin（α+

π

6

）的斜率分別為：k₁=-2cosA，k2=sin(A+

π

6

)，兩直線相互垂直
所以：k1k2=-2cosAsin(A+

π

6

)=-1
即：cosAsin(A+

π

6

)=

1

2

可得：cosA(sinAcos

π

6

+cosAsin

π

6

)=

1

2

所以：

3

2

sinAcosA+

1

2

cos2A=

1

2

，
所以：

3

4

sin2A+

1

2

(

1+cos2A

2

)=

1

2

即：

3

2

sin2A+

1+cos2A

2

=1
即：sin(2A+

π

6

)=

1

2

因為：0＜A＜π，0＜2A＜2π，
所以：

π

6

＜2A+

π

6

＜

13π

6

所以只有：2A+

π

6

=

5π

6

所以：A=

π

3

（Ⅱ）△ABC中，內角A，B，C對邊分別為a，b，c，a=2

3

，c=4，A=

π

3

，
所以：a2=b2+c2-2bccos

π

3

即：12=b2+16-

1

2

•8b
解得：b=2
所以△ABC的面積為S△ABC=

1

2

bcsinA=2

3

點評：本題考查的知識要點：直線垂直的充要條件，三角函數(shù)關系式的恒等變換，正弦型函數(shù)的性質的應用，余弦定理的應用，三角形面積的應用．屬于基礎題型．