Question

【題目】在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，側(cè)面ABB1A1是邊長為2的正方形，點E，F(xiàn)分別在線段AA1、A1B1上，且AE= ，A1F= ，CE⊥EF．
（Ⅰ）證明：平面ABB1A1⊥平面ABC；
（Ⅱ）若CA⊥CB，求直線AC1與平面CEF所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】證明：（I）取AB的中點D，連結(jié)CD，DF，DE． ∵AC=BC，D是AB的中點，∴CD⊥AB．
∵側(cè)面ABB1A1是邊長為2的正方形，AE= ，A1F= ．
∴A1E= ，EF= = ，DE= = ，
DF= = ，
∴EF2+DE2=DF2 ， ∴DE⊥EF，
又CE⊥EF，CE∩DE=E，CE平面CDE，DE平面CDE，
∴EF⊥平面CDE，又CD平面CDE，
∴CD⊥EF，
又CD⊥AB，AB平面ABB1A1 ， EF平面ABB1A1 ， AB，EF為相交直線，
∴CD⊥平面ABB1A1 ， 又CDABC，
∴平面ABB1A1⊥平面ABC．
（II）∵平面ABB1A1⊥平面ABC，
∴三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，∴CC1⊥平面ABC．
∵CA⊥CB，AB=2，∴AC=BC= ．
以C為原點，以CA，CB，CC1為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：

則A（ ，0，0），C（0，0，0），C1（0，0，2），E（ ，0， ），F(xiàn)（ ， ，2）．
∴ =（﹣ ，0，2）， =（ ，0， ）， =（ ， ，2）．
設(shè)平面CEF的法向量為 =（x，y，z），則 ，
∴ ，令z=4，得 =（﹣ ，﹣9 ，4）．
∴ =10，| |=6 ，| |= ．
∴cos＜ ＞= = ．
∴直線AC1與平面CEF所成角的正弦值為 ．
【解析】（I）取AB的中點D，連結(jié)CD，DF，DE．計算DE，EF，DF，利用勾股定理的逆定理得出DE⊥EF，由三線合一得CD⊥AB，故而CD⊥平面ABB1A1 ， 從而平面ABB1A1⊥平面ABC；（II）以C為原點建立空間直角坐標(biāo)系，求出 和平面CEF的法向量 ，則直線AC1與平面CEF所成角的正弦值等于|cos＜ ＞|．