Question

3．某印刷廠為了研究印刷單冊書籍的成本y（單位：元）與印刷冊數(shù)x（單位：千冊）之間的關(guān)系，在印制某種書籍時(shí)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，相關(guān)數(shù)據(jù)見下表：

印刷冊數(shù) （千冊）	2	3	4	5	8
單冊成本 （元）	3.2	2.4	2	1.9	1.7

根據(jù)以上數(shù)據(jù)，技術(shù)人員分別借助甲、乙兩種不同的回歸模型，得到兩個(gè)回歸方程，方程甲：${\stackrel{∧}{y}}^{（1）}$=$\frac{4}{x}+1.1$，方程乙：$\stackrel{{∧}^{（2）}}{y}$=$\frac{6.4}{x^2}+1.6$．
（1）為了評(píng)價(jià)兩種模型的擬合效果，完成以下任務(wù)．
①完成下表（計(jì)算結(jié)果精確到0.1）；

印刷冊數(shù)x（千冊）		2	3	4	5	8
單冊成本y（元）		3.2	2.4	2	1.9	1.7
模型甲	估計(jì)值${\stackrel{∧}{{y}_{i}}}^{（1）}$		2.4	2.1		1.6
	殘差${\stackrel{∧}{{e}_{i}}}^{（1）}$		0	-0.1		0.1
模型乙	估計(jì)值 ${\stackrel{∧}{{y}_{i}}}^{（2）}$		2.3	2	1.9
	殘差 ${\stackrel{∧}{{e}_{i}}}^{（2）}$		0.1	0	0

②分別計(jì)算模型甲與模型乙的殘差平方和Q₁及Q₂，并通過比較Q₁，Q₂的大小，判斷哪個(gè)模型擬合效果更好．
（2）該書上市之后，受到廣大讀者熱烈歡迎，不久便全部售罄，于是印刷廠決定進(jìn)行二次印刷．根據(jù)市場調(diào)查，新需求量為8千冊（概率0.8）或10千冊（概率0.2），若印刷廠以每冊5元的價(jià)格將書籍出售給訂貨商，問印刷廠二次印刷8千冊還是10千冊能獲得更多利潤？（按（1）中擬合效果較好的模型計(jì)算印刷單冊書的成本）

Answer 1

分析 （1）①計(jì)算對(duì)應(yīng)的數(shù)值，填表即可；
②計(jì)算模型甲、模型乙的殘差平方和，比較即可得出結(jié)論；
（2）計(jì)算二次印刷時(shí)的成本和利潤，求出數(shù)學(xué)期望（均值），即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）①經(jīng)計(jì)算，可得下表：

印刷冊數(shù)x（千冊）		2	3	4	5	8
單冊成本y（元）		3.2	2.4	2	1.9	1.7
模型甲	估計(jì)值${\hat y_i}^{（1）}$	3.1	2.4	2.1	1.9	1.6
	殘差${\hat e_i}^{（1）}$	0.1	0	-0.1	0	0.1
模型乙	估計(jì)值${\hat y_i}^{（2）}$	3.2	2.3	2	1.9	1.7
	殘差${\hat e_i}^{（2）}$	0	0.1	0	0	0

②模型甲的殘差平方和Q₁=0.1²+（-0.1）²+0.1²=0.03，
模型乙的殘差平方和Q₂=0.1²=0.01，
∴Q₁＞Q₂，模型乙的擬合效果更好；
（2）若二次印刷8千冊，則印刷廠獲利為（5-1.7）×8000=26400（元），
若二次印刷10千冊，由（1）可知，單冊書印刷成本為$\frac{6.4}{{{{10}^2}}}+1.6=1.664$（元）
故印刷總成本為16640（元），
設(shè)新需求量為X（千冊），印刷廠利潤為Y（元），則

X	8	10
Y	0.8	0.2

EX=8×0.8+10×0.2=8.4，
故EY=5×1000×EX-16640=42000-16640=25360，
故印刷8千冊對(duì)印刷廠更有利．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了離散型隨機(jī)變量的分布列與期望的應(yīng)用問題，也考查了殘差平方和的應(yīng)用問題，是綜合題．