Question

2．函數f（x）=3x²+e^x-2（x＜0）與g（x）=3x²+ln（x+t）圖象上存在關于y軸對稱的點，則t的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，$\frac{1}{e}$）
• B． （-∞，e）
• C． （-e，$\frac{1}{e}$）
• D． （-$\frac{1}{e}$，e）

Answer 1

分析 若函數f（x）=3x²+e^x-2（x＜0）與g（x）=3x²+ln（x+t）的圖象上存在關于y軸對稱的點，則函數f（x）=3x²+e^x-2（x＜0）關于y對稱后的圖象與g（x）=3x²+ln（x+t）的圖象有交點，進而可得實數t的取值范圍．

解答 解：若函數f（x）=3x²+e^x-2（x＜0）與g（x）=3x²+ln（x+t）的圖象上存在關于y軸對稱的點，
則函數f（x）=3x²+e^x-2（x＜0）關于y對稱后的圖象與g（x）=3x²+ln（x+t）的圖象有交點，
即2x²+e^-x=2x²+ln（x+t）+2有正根，
即e^-x=ln（x+t）+2有正根，
即e^-x-2=ln（x+t）有正根，
即函數y=e^-x-2和y=ln（x+t）的圖象在y軸右側有交點，
如下圖所示：
由lnt=-1得：t=$\frac{1}{e}$得：滿足條件的實數m的取值范圍是（-∞，$\frac{1}{e}$），
故選：A．

點評 本題主要考察函數圖象的對稱變換，函數交點個數及位置的判定，屬于中檔題．