Question

附加題：
如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB，BP=BC=2，E，F(xiàn)分別是PB，PC的中點(diǎn)．
（1）證明：EF∥平面PAD．
（2）證明：CD⊥平面PAD．
（3）求三棱錐E-ABC的體積V．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）要證明：EF∥平面PAD，只需證明EF∥AD即可；
（2）證明CD⊥AD，PA⊥CD，即可證明CD⊥平面PAD；
（3）求三棱錐E-ABC的體積V．只需求出底面△ABC的面積，再求出E到底面的距離，即可．

解答： （1）證明：在△PBC中，E，F(xiàn)分別是PB，PC的中點(diǎn)，∴EF∥BC．
又BC∥AD，∴EF∥AD，
又∵AD?平面PAD，EF?平面PAD，
∴EF∥平面PAD；
（2）證明：∵底面ABCD是矩形，
∴CD⊥AD，
∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，
∴PA⊥CD，
∵PA∩AD=A，
∴CD⊥平面PAD．
（3）解：連接AE，AC，EC，
過E作EG∥PA交AB于點(diǎn)G，
則EG⊥平面ABCD，且EG=

1

2

PA．
在△PAB中，AP=AB，∠PAB=90°，BP=2，
∴AP=AB=

2

，EG=

2

2

．
∴S_△ABC=

1

2

AB•BC=

1

2

×

2

×2=

2

，
∴V_E-ABC=

1

3

S_△ABC•EG=

1

3

×

2

×

2

2

=

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查棱錐的體積，可查直線與平面平行、垂直的判定，是中檔題．