Question

5．設(shè)函數(shù)f（x）=（2x-1）e^x-ax+a，若存在唯一的整數(shù)x₀使得f（x₀）＜0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[$\frac{3}{2e}$，1）．

Answer 1

分析 首先令g（x）=（2x-1）e^x，h（x）=a（x-1），判斷g（x）的單調(diào)性．因?yàn)榇嬖谖ㄒ坏恼麛?shù)x₀使得f（x₀）＜0．即（2x₀-1）e^x＜a（x₀-1）．所以結(jié)合圖形知：$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{g（-1）≥h（-1）}\\{-1＜h（0）＜0}\end{array}\right.$

解答 解：令g（x）=（2x-1）e^x，h（x）=a（x-1），
∵g'（x）=（2x-1）e^x+2e^x=（2x+1）e^x，
∴當(dāng)x＜-$\frac{1}{2}$時(shí)，g'（x）＜0，則函數(shù)g（x）在（-∞，-$\frac{1}{2}$）上單調(diào)遞減；
當(dāng)x＞-$\frac{1}{2}$時(shí)，g'（x）＞0，則函數(shù)g（x）在（-$\frac{1}{2}$，+∞）上單調(diào)遞增；
而g（-1）=-3e^-1，g（0）=-1；
因?yàn)榇嬖谖ㄒ坏恼麛?shù)x₀使得f（x₀）＜0．
即（2x₀-1）e^x＜a（x₀-1）．
所以結(jié)合圖形知：$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{g（-1）≥h（-1）}\\{-1＜h（0）＜0}\end{array}\right.$ 或$\left\{\begin{array}{l}{h（2）＞g（2）}\\{h（3）＜g（3）}\end{array}\right.$
即：$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{-3{e}^{-1}≥-2a}\\{-1＜-a＜0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a＞3{e}^{2}}\\{2a＜5{e}^{3}}\end{array}\right.$  解得$\frac{3}{2e}$≤a＜1或3e²＜a＜$\frac{5}{2}{e}^{3}$；
故答案為：[$\frac{3}{2e}$，1）∪$（3{e}^{2}，\frac{5}{2}{e}^{3}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，同時(shí)考查了函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化思想，屬中等題．