Question

13．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且a²，b²，c²成等差數(shù)列，則sinB的最大值是$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 由等差數(shù)列的定義和性質(zhì)可得2b²=a² +c² ，再由余弦定理可得cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}}{4ac}$，利用基本不等式可得cosB≥$\frac{1}{2}$，從而求得角B的取值范圍，進而利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可得解．

解答 解：由題意可得2b²=a² +c² ，由余弦定理可得cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}}{4ac}$≥$\frac{1}{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)a=c時，等號成立．
又 0＜B＜π，
∴0＜B≤$\frac{π}{3}$，
∵sinB在（0，$\frac{π}{3}$]單調(diào)遞增，
∴可得sinB的最大值是sin$\frac{π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題主要考查余弦定理、等差數(shù)列的定義和性質(zhì)，以及基本不等式的應(yīng)用，求得cosB≥$\frac{1}{2}$，是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．