Question

6．△ABC中，∠A，∠B，∠C，所對應(yīng)的邊分別為a，b，c，滿足∠A，∠B，∠C，成等差數(shù)列，且S_△ABC=$\sqrt{3}$
（1）若b=2，求a+c的值；
（2）若a，b，c三邊長度成等比數(shù)列，判斷△ABC形狀．

Answer 1

分析 （1）由等差數(shù)列的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理可得B的值，利用三角形面積公式可求ac=4，利用余弦定理可得a²+c²=8，進(jìn)而可求a+c的值．
（2）由（1）可求ac=4，利用等比數(shù)列的性質(zhì)可求b，結(jié)合余弦定理可求a，c的值，即可得解．

解答 解：（1）由∠A，∠B，∠C，成等差數(shù)列得：2B=A+C，因?yàn)锳+B+C=π，所以$B=\frac{π}{3}$，…（1分）
∵${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}acsinB=\frac{{\sqrt{3}}}{4}ac=\sqrt{3}$，
∴解得：ac=4，…（2分）
又由余弦定理得：4=a²+c²-ac，即a²+c²=8，…（3分）
∴（a+c）²=a²+c²+2ac=16，故a+c=4．…（5分）
（2）由（1）知：ac=4，①
∵a，b，c三邊長度成等比數(shù)列，
∴b²=ac=4，即b=2．…（7分）
∴4=a²+c²-ac，②，
由①②解得a=c=2，
∴a=b=c，故△ABC為等邊三角形．…（9分）

點(diǎn)評 本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形面積公式，余弦定理，等比數(shù)列的性質(zhì)在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了配方法和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．