Question

16．已知圓M：x²+（y-1）²=1和點A（1，3），則過點A與圓M相切的直線方程是x=1或3x-4y+9=0．

Answer 1

分析 由圓的方程找出圓心坐標和圓的半徑r，顯然直線x=1與圓相切；當與圓相切的直線斜率存在時，設直線的斜率為k，由直線過（1，3），寫出直線的方程，根據直線與圓相切，得到圓心到直線的距離等于圓的半徑，故利用點到直線的距離公式列出關于k的方程，求出方程的解得到k的值，確定出直線的方程，綜上，得到所有滿足題意的直線的方程．

解答 解：由圓x²+（y-1）²=1，得到圓心坐標為（0，1），半徑為1，
顯然此時直線x=1與圓x²+（y-1）²=1相切；
當與圓相切的直線斜率存在時，設斜率為k，
此時直線的方程為y-3=k（x-1），即kx-y+3-k=0，
∵直線與圓相切，
∴圓心到直線的距離d=$\frac{|2-k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=r=1，
整理得：（2-k）²=1+k²，解得：k=$\frac{3}{4}$，
此時直線的方程為3x-4y+9=0，
綜上，所求直線的方程為：3x-4y+9=0或x=1．
故答案為x=1或3x-4y+9=0．

點評 此題考查了直線與圓的位置關系，涉及的知識有：圓的標準方程，直線的點斜式方程，點到直線的距離公式，利用了分類討論的思想，當直線與圓相切時，圓心到直線的距離等于圓的半徑，熟練掌握此性質是解本題的關鍵．