Question

12．（1）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程ρ=4$\sqrt{2}sin（{\frac{3π}{4}-θ}）$，過P（0，2）作斜率為$\sqrt{3}$的直線l交曲線C于點(diǎn)A，B兩點(diǎn)，求|PA|•|PB|的值．
（2）已知曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}$（θ為參數(shù)），若把曲線C₁上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)壓縮為原來的$\frac{1}{2}$倍，縱坐標(biāo)壓縮為原來的$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$倍，得到曲線C₂，設(shè)點(diǎn)P是曲線C₂上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求它到直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t}\end{array}（{t為參數(shù)}）$的距離的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出曲線C的普通方程和直線AB的參數(shù)方程，聯(lián)立方程組，根據(jù)參數(shù)的幾何意義和根與系數(shù)的關(guān)系得出答案；
（2）求出曲線C₁的參數(shù)方程和直線l的普通方程，根據(jù)距離公式得出P到直線l的距離d關(guān)于參數(shù)θ的表達(dá)式，利用三角函數(shù)的性質(zhì)得出d的最小值．

解答 解：（1）曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=4$\sqrt{2}$sin（$\frac{3π}{4}$-θ）=4cosθ+4sinθ，
∴ρ²=4ρcosθ+4ρsinθ，
∴曲線C的普通方程為x²+y²=4x+4y，即x²+y²-4x-4y=0，
直線AB的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}t}\\{y=2+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
代入曲線C的普通方程得：t²-2t-4=0，
∴|PA|•|PB|=|t₁t₂|=4．
（2）曲線C₂的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}cosθ}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），
直線l的普通方程為：$\sqrt{3}$x-y-$\sqrt{3}$=0，
∴P到直線l的距離為d=$\frac{|\frac{\sqrt{3}}{2}cosθ-\frac{\sqrt{3}}{2}sinθ-\sqrt{3}|}{2}$=|$\frac{\sqrt{6}}{4}$cos（$θ+\frac{π}{4}$）-$\frac{\sqrt{3}}{2}$|，
∴當(dāng)cos（$θ+\frac{π}{4}$）=1時(shí)，d取得最小值|$\frac{\sqrt{6}}{4}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$|=$\frac{2\sqrt{3}-\sqrt{6}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程的應(yīng)用，屬于中檔題．