Question

20．已知$f（x）=2sin（{2x+\frac{π}{6}}）+a+1$
（1）若$x∈[0，\frac{π}{2}]$且a=1時(shí)，求f（x）的最大值和最小值，以及取得最大值和最小值時(shí)x的值；
（2）若x∈[0，π]且a=-1時(shí)，方程f（x）=b有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x₁、x₂，求b的取值范圍及x₁+x₂的值．

Answer 1

分析 （1）首先根據(jù)題意把三角函數(shù)關(guān)系式變形成正弦型函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，進(jìn)一步利用三角函數(shù)的定義域求出函數(shù)的值域，進(jìn)一步求出函數(shù)的最值．
（2）利用分類(lèi)討論的思想：①當(dāng)b=±2時(shí)，f（x）=b與$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{6}）$只有一個(gè)交點(diǎn)；②當(dāng)b=0時(shí)，f（x）=b與$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{6}）$有三個(gè)交點(diǎn)；③當(dāng)b∈（-2，0）∪（0，2）時(shí)，f（x）=b與$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{6}）$有兩個(gè)交點(diǎn)．進(jìn)一步求出函數(shù)中b的取值范圍，再利用整體思想求出結(jié)果．

解答 解：已知：$f（x）=2sin（{2x+\frac{π}{6}}）+a+1$，
（1）當(dāng)a=1時(shí)，$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{6}）+2$，
∵$x∈[0，\frac{π}{2}]$，
∴$2x+\frac{π}{6}∈[\frac{π}{6}，\frac{7π}{6}]$，
根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)得：$sinx∈[-\frac{1}{2}，1]$，
當(dāng)$2x+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$即$x=\frac{π}{6}$時(shí)，f（x）取到最大值為4；
當(dāng)$2x+\frac{π}{6}=\frac{7π}{6}$即$x=\frac{π}{2}$時(shí)，f（x）取到最小值為1．
（2）當(dāng)a=-1時(shí)，$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{6}）$，
∵x∈[0，π]，
∴$2x+\frac{π}{6}∈[\frac{π}{6}，\frac{13π}{6}]$；
①當(dāng)b=±2時(shí)，f（x）=b與$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{6}）$只有一個(gè)交點(diǎn)；
②當(dāng)b=0時(shí)，f（x）=b與$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{6}）$有三個(gè)交點(diǎn)；
③當(dāng)b∈（-2，0）∪（0，2）時(shí)，
f（x）=b與$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{6}）$有兩個(gè)交點(diǎn)．
所以：當(dāng)b∈（0，2）時(shí)，
建立關(guān)系式：$\frac{{2{x_1}+\frac{π}{6}+2{x_2}+\frac{π}{6}}}{2}=\frac{π}{2}$，
∴${x_1}+{x_2}=\frac{π}{3}$，
當(dāng)b∈（-2，0）時(shí)，
建立關(guān)系式：$\frac{{2{x_1}+\frac{π}{6}+2{x_2}+\frac{π}{6}}}{2}=\frac{3π}{2}$，
∴${x_1}+{x_2}=\frac{4π}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：正弦型三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用整體思想求三角函數(shù)得值域，分類(lèi)討論思想在解題中的應(yīng)用，解方程思想的應(yīng)用．