Question

已知A（-2，

3

），F(xiàn)是橢圓

x2

16

+

y2

12

=1的右焦點，點M在橢圓上，當(dāng)|MA|+|MF|取得最小值時，點M的坐標(biāo)為

 

．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程,圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：由橢圓的方程求出a，b，c，運用由橢圓的定義，可得|MA|+|MF|=8+|MA|-|MF'|，再由當(dāng)

MF′

與

AF′

同向共線時取等號，即取最小值，得到當(dāng)點M在橢圓上并在線段F'A的延長線上時|MF|+|MA|取得最小值．

解答： 解：由橢圓

x2

16

+

y2

12

=1=1得，a=4，b=2

3

，c=2，
又A（-2，

3

），由

4

16

+

3

12

＜1知A在橢圓內(nèi)，
設(shè)橢圓的左焦點為F'，且F'（-2，0），
則由橢圓的定義，可得，
|MF|+|MF'|=2a=8，
則|MA|+|MF|=8+|MA|-|MF'|≥8-|AF'|，
當(dāng)

MF′

與

AF′

同向共線時取等號，即取最小值．
由于AF'⊥x軸，令x=-2，代入橢圓方程得，y=±3，
故M取（-2，3）時，|MA|+|MF|取得最小值．
故答案為：（-2，3）．

點評：本題考查了橢圓的簡單幾何性質(zhì)，涉及圓錐曲線中的最值問題，往往要借助于圓錐曲線的定義解決，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，此題是中檔題．