Question

10．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程為ρ（1+cos2θ）=8sinθ，直線(xiàn)l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-2a+t}\\{y=3a-t}\end{array}\right.$ （t為參數(shù)）．
（I）求曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）若直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C相切，求直線(xiàn)l與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積．

Answer 1

分析 （I）利用二倍角公式化簡(jiǎn)極坐標(biāo)方程，再根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)關(guān)系得出曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程；
（II）將直線(xiàn)l的參數(shù)方程代入曲線(xiàn)C的普通方程得到關(guān)于參數(shù)t的一元二次方程，令△=0解出a，得到直線(xiàn)l的方程，求出直線(xiàn)l與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算三角形面積．

解答 解：（I）∵曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程為ρ（1+cos2θ）=8sinθ，
∴2ρcos²θ=8sinθ，
∴ρ²cos²θ=4ρsinθ．
∴曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程為x²=4y．
（II）將直線(xiàn)l的參數(shù)方程代入曲線(xiàn)C的普通方程得：t²+（4-4a）t+4a²-12a=0．
∵直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C相切，
∴△=（4-4a）²-4（4a²-12a）=0，解得a=-1．
∴直線(xiàn)l的普通方程為x+y=-1．
∴直線(xiàn)l與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為（0，-1），（-1，0）．
∴直線(xiàn)l與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為S=$\frac{1}{2}×1×1=\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化，參數(shù)方程的應(yīng)用，屬于中檔題．