Question

3．設函數y=f（x）是定義在（0，+∞）上的函數，并且滿足下面三個條件：
①對任意正數x，y，都有f（xy）=f（x）+f（y）；
②當x＞1時，f（x）＞0；
③f（3）=1，
（1）求f（1），$f（\frac{1}{3}）$的值；
（2）判斷函數f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調性，并用定義給出證明；
（3）對于定義域內的任意實數x，f（kx）+f（4-x）＜2（k為常數，且k＞0）恒成立，求正實數k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用賦值法即可求f（1），$f（\frac{1}{3}）$的值；
（2）根據函數單調性的定義即可判斷函數f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調性；
（3）根據函數奇偶性和單調性的性質將不等式進行轉化求解即可．

解答 解：（1）令x=y=1，得f（1）=0，令x=3，$y=\frac{1}{3}$，
則$f（3×\frac{1}{3}）=f（3）+f（\frac{1}{3}）=0$，所以$f（\frac{1}{3}）=-1$…（2分）
（2）函數f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調遞增，證明如下
任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=$f（{x_1}）-f（{x_1}•\frac{x_2}{x_1}）=f（{x_1}）-f（{x_1}）-f（\frac{x_2}{x_1}）=-$$f（\frac{x_2}{x_1}）$，
因為x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，則$\frac{x_2}{x_1}＞1$，又x＞1時，f（x）＞0，
所以$f（\frac{x_2}{x_1}）＞0$，即f（x₁）＜f（x₂），
函數f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調遞增．            …（6分）
（3）f（9）=f（3）+f（3）=2，…（7分）
由（2）知函數f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調遞增
不等式f（kx）+f（4-x）＜2可化為f（kx（4-x））＜f（9），因為k＞0
不等式故可化為$\left\{{\begin{array}{l}{x＞0}\\{4-x＞}\\{kx（4-x）＜9}\end{array}}\right.$，
由題可得，0＜x＜4時，kx（4-x）＜9恒成立，…（9分）
即0＜x＜4時，$k＜\frac{9}{x（4-x）}$恒成立，$k＜{（\frac{9}{x（4-x）}）_{min}}$0＜x＜4，y=x（4-x）∈（0，4]，
所以$\frac{9}{x（4-x）}∈[{\frac{9}{4}，+∞}）$
所以$k＜\frac{9}{4}$…（12分）

點評 本題主要考查抽象函數的應用，利用條件結合函數奇偶性和單調性的定義將不等式進行轉化是解決本題的關鍵．