Question

已知各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列{a_n}滿足7a₄+3a₃=7a₂+3a₁+4，那么7a₈+3a₇的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，則q＞0且q≠1，根據(jù)題意用q表示出7a₂+3a₁，求出它的最小值即可．

解答： 解：設(shè)各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列{a_n}的公比為q，則q＞0，
∵7a₄+3a₃=7a₂+3a₁+4，∴q≠1，
∴q²（7a₂+3a₁）=7a₂+3a₁+4，∴7a₂+3a₁=

4

q2-1

；
∴7a₈+3a₇=q⁶（7a₂+3a₁）=

4q6

q2-1

=

4

1 q4 - 1 q6

，
令

1

q2

=t，則t＞0，
∴

4q6

q2-1

=

4

t2-t3

；
設(shè)f（t）=t²-t³，（t＞0），
∴f′（t）=2t-3t²，
令f′（t）=0，
解得t=0（舍去），或t=

2

3

；
∴當(dāng)t=

2

3

時(shí)，f（t）取得最大值是f（t）_max=(

2

3

)2-(

2

3

)3=

4

27

，
∴

4q6

q2-1

取得最小值是

4

4 27

=27．
故答案為：27．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用問題，也考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值問題，是綜合性題目．