【題目】已知函數(shù).
(1)證明:在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn);
(2)令,若時有最大值,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)見解析(2)
【解析】
(1)對求導(dǎo)得到,再對求導(dǎo),得到,根據(jù)的正負(fù),得到的單調(diào)性,再由定義域求出的正負(fù),從而得到的單調(diào)性,由零點(diǎn)存在定理,進(jìn)行證明;(2)對求導(dǎo),得到,令,根據(jù)(1)的結(jié)論,可得在上有唯一零點(diǎn),再按和進(jìn)行分類,分別研究的單調(diào)性,從而得到有最大值時對的要求,得到答案.
(1)
易知在區(qū)間上恒成立,則在單調(diào)遞減
所以=0,即f(x)在單調(diào)遞增,
又,則在區(qū)間必存在唯一零點(diǎn)
(2)
所以
令,則
由(1)知:則在單調(diào)遞增
又,即在上有唯一零點(diǎn)
當(dāng)時,由得,所以在區(qū)間單調(diào)遞增;在區(qū)間單調(diào)遞減;此時h(x)存在最大值h(0),滿足題意;
當(dāng)時,由有兩個不同零點(diǎn)x=0及,所以h(x)在區(qū)間(0,a)單調(diào)遞減;在區(qū)間,單調(diào)遞增;此時h(x)有極大值h(0)=2a
由h(x)有最大值,可得;,解得,即
綜上所述:當(dāng)時,h(x)在有最大值
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如果函數(shù)的定義域?yàn)?/span>,且存在實(shí)常數(shù),使得對于定義域內(nèi)任意,都有成立,則稱此函數(shù)具有“性質(zhì)”.
(1)判斷函數(shù)是否具有“性質(zhì)”,若具有“性質(zhì)”,求出所有的值的集合,若不具有“性質(zhì)”,請說明理由;
(2)已知函數(shù)具有“性質(zhì)”,且當(dāng)時,,求函數(shù)在區(qū)間上的值域;
(3)已知函數(shù)既具有“性質(zhì)”,又具有“性質(zhì)”,且當(dāng)時,,若函數(shù)的圖像與直線有2017個公共點(diǎn),求實(shí)數(shù)的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某種零件的質(zhì)量指標(biāo)值以分?jǐn)?shù)(滿分100分)衡量,并根據(jù)分?jǐn)?shù)的高低劃分三個等級,如下表:
為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程,檢驗(yàn)員隨機(jī)抽取了100件零件,進(jìn)行質(zhì)量指標(biāo)值檢查,將檢查結(jié)果進(jìn)行整理得到如下的頻率分布直方圖:
(1)若該生產(chǎn)線的質(zhì)量指標(biāo)值要求為:
第一條:生產(chǎn)線的質(zhì)量指標(biāo)值合格和優(yōu)秀的零件至少要占全部零件的75%,
第二條:生產(chǎn)線的質(zhì)量指標(biāo)值平均分不低于95分;
如果同時滿足以上兩條就認(rèn)定生產(chǎn)線的質(zhì)量指標(biāo)值合格,否則為不合格,請根據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù),判斷該生產(chǎn)線的質(zhì)量指標(biāo)值是否合格?
(2)在樣本中,按質(zhì)量指標(biāo)值的等級用分層抽樣的方法從質(zhì)量指標(biāo)值不合格和優(yōu)秀的零件中抽取5件,再從這5件中隨機(jī)抽取2件,求這兩件的質(zhì)量指標(biāo)值恰好一個不合格一個優(yōu)秀的概率
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知集合A={x|x2-2x-3≤0},B={x|x2-2mx+m2-4≤0,x∈R,m∈R}.
(1)若A∩B=[0,3],求實(shí)數(shù)m的值;
(2)若ARB,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知A,B,C三個班共有學(xué)生100人,為調(diào)查他們的體育鍛煉情況,通過分層抽樣獲取了部分學(xué)生一周的鍛煉時間,數(shù)據(jù)如下表(單位:小時).
A班 | 6 | 6.5 | 7 | |
B班 | 6 | 7 | 8 | |
C班 | 5 | 6 | 7 | 8 |
(1)試估計C班學(xué)生人數(shù);
(2)從A班和B班抽出來的學(xué)生中各選一名,記A班選出的學(xué)生為甲,B班選出的學(xué)生為乙,若學(xué)生鍛煉相互獨(dú)立,求甲的鍛煉時間大于乙的鍛煉時間的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下面有三個游戲規(guī)則,袋子中分別裝有球,從袋中無放回地取球,問其中不公平的游戲是( )
游戲1 | 游戲2 | 游戲3 |
袋中裝有一個紅球和一個白球 | 袋中裝有2個紅球和2個白球 | 袋中裝有3個紅球和1個白球 |
取1個球, | 取1個球,再取1個球 | 取1個球,再取1個球 |
取出的球是紅球→甲勝 | 取出的兩個球同色→甲勝 | 取出的兩個球同色→甲勝 |
取出的球是白球→乙勝 | 取出的兩個球不同色→乙勝 | 取出的兩個球不同色→乙勝 |
A.游戲1B.游戲2C.游戲3D.游戲2和游戲3
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某“雙一流”大學(xué)專業(yè)獎學(xué)金是以所學(xué)專業(yè)各科考試成績作為評選依據(jù),分為專業(yè)一等獎學(xué)金、專業(yè)二等獎學(xué)金及專業(yè)三等獎學(xué)金,且專業(yè)獎學(xué)金每個學(xué)生一年最多只能獲得一次.圖(1)是統(tǒng)計了該校年名學(xué)生周課外平均學(xué)習(xí)時間頻率分布直方圖,圖(2)是這名學(xué)生在年周課外平均學(xué)習(xí)時間段獲得專業(yè)獎學(xué)金的頻率柱狀圖.
(Ⅰ)求這名學(xué)生中獲得專業(yè)三等獎學(xué)金的人數(shù);
(Ⅱ)若周課外平均學(xué)習(xí)時間超過小時稱為“努力型”學(xué)生,否則稱為“非努力型”學(xué)生,列聯(lián)表并判斷是否有的把握認(rèn)為該校學(xué)生獲得專業(yè)一、二等獎學(xué)金與是否是“努力型”學(xué)生有關(guān)?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某種出口產(chǎn)品的關(guān)稅稅率,市場價格(單位:千元)與市場供應(yīng)量(單位:萬件)之間近似滿足關(guān)系式:,其中、均為常數(shù).當(dāng)關(guān)稅稅率為時,若市場價格為5千元,則市場供應(yīng)量約為1萬件;當(dāng)關(guān)稅稅率為時,若市場價格為7千元,則市場供應(yīng)量約為2萬件.
(1)試確定、的值;
(2)市場需求量(單位:萬件)與市場價格近似滿足關(guān)系式:.當(dāng)時,市場價格稱為市場平衡價格.當(dāng)市場平衡價格不超過4千元時,試確定關(guān)稅稅率的最大值.
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