Question

9．已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，且f′（x）＜f（x）恒成立，若f（e+1）=1（其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則不等式f（lnx+x）-e^lnx+x-e-1＜0的解集為（　�。�

• A． （0，e）
• B． （e，+∞）
• C． （0，e+1）
• D． （e+1，+∞）

Answer 1

分析 將原不等式變形為$\frac{f（lnx+x）}{{e}^{lnx+x}}$-e^-e-1＜0，構(gòu)造輔助函數(shù)，g（x）=$\frac{f（lnx+x）}{{e}^{lnx+x}}$-e^-e-1，（x＞0），求得根據(jù)已知條件求得g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減，由g（e）=0，g（x）＜g（e），根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，即可求得不等式的解集

解答 解：將所求不等式變形為$\frac{f（lnx+x）}{{e}^{lnx+x}}$-e^-e-1＜0，
令g（x）=$\frac{f（lnx+x）}{{e}^{lnx+x}}$-e^-e-1，（x＞0）
則g′（x）=$\frac{f′（lnx+x）•（\frac{1}{x}+1）•{e}^{lnx+x}-f（lnx+x）•{e}^{lnx+x}•（\frac{1}{x}+1）}{（{e}^{lnx+x}）^{2}}$，
=$\frac{[f′（lnx+x）-f（lnx+x）]•（\frac{1}{x}+1）}{{e}^{lnx+x}}$，
∵f′（x）＜f（x）恒成立，
∴f′（lnx+x）-f（lnx+x）＜0，
即g′（x）＜0．
∴g（x）為其定義域上的減函數(shù)．
又g（e）=$\frac{f（e+1）}{{e}^{e+1}}$-e^-e-1=0，
∴g（x）＜g（e），
∴不等式的解集為：（e，+∞），
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的單調(diào)性，考查采用構(gòu)造法求不等式的解集，函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于難題．