【題目】如圖,平面ABCD⊥平面ADEF,四邊形ABCD為菱形,四邊形ADEF為矩形,M、N分別是EF、BC的中點,AB=2AF=2,∠CBA=60°.
(1)求證:AN⊥DM;
(2)求直線MN與平面ADEF所成的角的正切值;
(3)求三棱錐D﹣MAN的體積.
【答案】
(1)證明:連接AC,在菱形ABCD中,
∵∠CBA=60°且AB=BC,∴△ABC為等邊三角形.
∵N為BC的中點,∴AN⊥BC,
又∵BC∥AD,∴AN⊥AD,
∵平面ABCD⊥平面ADEF,AN平面ADEF,平面ABCD∩平面ADEF=AD
∴AN⊥平面ADEF,
∵DM平面ADEF,
∴AN⊥DM;
(2)解:由(1)知,NA⊥平面ADEF,
∴∠NMA為直線MN與平面ADEF所成的角,
∵四邊形ADEF為矩形,AD=2AF=2,M是EF的中點,
∴AF=FM=1,
∴△AMF為等腰直角三角形,
∴AM= ,
∵△ABC為邊長為2的等邊三角形且N是BC的中點,
∴AN= ,
在Rt△NAM中,tan∠NMA= =
(3)解:∵四邊形ADEF為矩形,M是EF的中點,AB=2AF=2,
∴ME=DE=1,且DM=AM= ,
∴AD2=AM2+DM2,
∴∠AMD=90°,
∴S△AMD= =1.
由(1)NA⊥平面ADEF,
∴三棱錐D﹣MAN的體積=三棱錐N﹣MAD的體積= = .
【解析】(1)連接AC,證明AN⊥AD,利用平面與平面垂直的性質(zhì)證明AN⊥平面ADEF,即可證明AN⊥DM;(2)由(1)知,NA⊥平面ADEF,可得∠NMA為直線MN與平面ADEF所成的角,求出AN,AM,即可求直線MN與平面ADEF所成的角的正切值;(3)利用三棱錐D﹣MAN的體積=三棱錐N﹣MAD的體積,即可求三棱錐D﹣MAN的體積.
【考點精析】利用空間角的異面直線所成的角對題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知已知為兩異面直線,A,C與B,D分別是上的任意兩點,所成的角為,則.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)橢圓的左焦點為,右頂點為,離心率為.已知是拋物線的焦點, 到拋物線的準(zhǔn)線的距離為.
(I)求橢圓的方程和拋物線的方程;
(II)設(shè)上兩點, 關(guān)于軸對稱,直線與橢圓相交于點(異于點),直線與軸相交于點.若的面積為,求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在x∈[ ,2]上,函數(shù)f(x)=x2+px+q與g(x)= + 在同一點取得相同的最小值,那么f(x)在x∈[ ,2]上的最大值是( )
A.
B.4
C.8
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和,公差為d,且S2015>S2016>S2014 , 下列五個命題:①d>0;②S4029>0;③S4030<0;④數(shù)列{Sn}中的最大項為S2015;⑤|a2015|>|a2016|.
其中正確結(jié)論的序號是 . (寫出所有正結(jié)論的序號)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn , 等比數(shù)列{bn}的各項均為正數(shù),滿足:a1=b1=1,a5=b3 , 且S3=9.
(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式;
(2)求 + +…+ 的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】把函數(shù)y=sinx的圖象上所有點的橫坐標(biāo)都縮小到原來的一半,縱坐標(biāo)保持不變,再把圖象向左平移 個單位,這時對應(yīng)于這個圖象的解析式為( )
A.y=cos2x
B.y=﹣sin2x
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓 的左、右焦點分別為F1、F2 , 短軸兩個端點為A、B,且四邊形F1AF2B是邊長為2的正方形.
(1)求橢圓的方程;
(2)若C、D分別是橢圓長的左、右端點,動點M滿足MD⊥CD,連接CM,交橢圓于點P.證明: 為定值.
(3)在(2)的條件下,試問x軸上是否存異于點C的定點Q,使得以MP為直徑的圓恒過直線DP、MQ的交點,若存在,求出點Q的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩位學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽培訓(xùn),在培訓(xùn)期間,他們參加的5次預(yù)賽成績記錄如下:
甲 | 82 | 82 | 79 | 95 | 87 |
乙 | 95 | 75 | 80 | 90 | 85 |
(1)請用莖葉圖表示這兩組數(shù)據(jù);
(2)從甲、乙兩人的成績中各隨機抽取一個,求甲的成績比乙高的概率;
(3)現(xiàn)要從中選派一人參加9月份的全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽,從統(tǒng)計學(xué)的角度考慮,你認(rèn)為選派哪位學(xué)生參加合適?請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(其中, 為自然對數(shù)的底數(shù), …).
(1)若函數(shù)僅有一個極值點,求的取值范圍;
(2)證明:當(dāng)時,函數(shù)有兩個零點, ,且.
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