Question

4．將棱長為2的正方體沿對角A₁BAD₁截去一半得到如圖所示的幾何體，點E，F(xiàn)分別是BC，DC的中點，AF與DE相交于O點．
（1）證明：AF⊥平面DD₁E；
（2）求三棱錐A-EFD₁的體積．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出DD₁⊥AF，AF⊥DE，由此能證明AF⊥平面DD₁E．
（2）三棱錐A-EFD₁的體積${V}_{A-EF{D}_{1}}={V}_{{D}_{1}-AEF}$，由此能求出結(jié)果．

解答 證明：（1）∵將棱長為2的正方體沿對角A₁BAD₁截去一半得到如圖所示的幾何體，
∴D₁D⊥平面ABCD，
∵AF?平面ABCD，∴DD₁⊥AF，
∵點E，F(xiàn)分別是BC，DC的中點，∴DF=CE，
∵AD=DC，∠ADF=∠DCE=90°，
∴△ADF≌△DCE，∴∠AFD=∠DEC，
∵∠CDE+∠DEC=90°，∴∠CDE+∠AFD=90°，
∴∠DOF=180°-（∠CDE+∠AFD）=90°，∴AF⊥DE，
∵D₁D∩DE=D，∴AF⊥平面DD₁E．
解：（2）∵D₁D⊥平面ABCD，∴D₁D是三棱錐D₁-AEF的高，且D₁D=2，
∵點E，F(xiàn)分別是BC，D₁C的中點，∴DF=CF=CE=BE=1，
∴S_△AEF=S_{正方形ABCD}-S_△ABE-S_△ADF-S_△CEF=4-$\frac{1}{2}×AB×BE-\frac{1}{2}×AD×DF-\frac{1}{2}×CE×CF$=4-$\frac{1}{2}-1-1$=$\frac{3}{2}$，
∴三棱錐A-EFD₁的體積：
${V}_{A-EF{D}_{1}}={V}_{{D}_{1}-AEF}$=$\frac{1}{3}×{S}_{△AEF}×{D}_{1}D$=$\frac{1}{3}×\frac{3}{2}×2=1$．

點評 本題考查直線與平面垂直的證明，棱柱、棱錐、棱臺的體積的求法，考查了空間想象能力和推理論證能力，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．