Question

14．已知點P（$\sqrt{2}$，1）和橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1．
（1）設橢圓的兩個焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，試求△PF₁F₂的周長及橢圓的離心率；
（2）若直線l：$\sqrt{2}$x-2y+m=0（m≠0）與橢圓C交于兩個不同的點A，B，設直線PA與PB的斜率分別為k₁，k₂，求證：k₁+k₂=0．

Answer 1

分析 （1）求得橢圓的a，b，c，可得P在橢圓上，運用橢圓的定義，即可得到△PF₁F₂的周長和橢圓的離心率；
（2）聯(lián)立直線和橢圓方程，可得x的二次方程，運用判別式大于0，以及韋達定理，結合直線的斜率公式，化簡整理，即可得證．

解答 解：（1）橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1的a=2，b=$\sqrt{2}$，c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=$\sqrt{2}$，
點P（$\sqrt{2}$，1）在橢圓C上，由橢圓定義可得|PF₁|+|PF₂|=2a=4，
△PF₁F₂的周長為2a+2c=4+2$\sqrt{2}$；
橢圓的離心率為e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（2）證明：聯(lián)立直線$\sqrt{2}$x-2y+m=0和橢圓x²+2y²=4，
可得4x²+2$\sqrt{2}$mx+m²-8=0，
由直線與橢圓有兩個交點，且直線不過點P，
可得△=8m²-4×4（m²-8）＞0，且m≠0，
解得-4＜m＜0或0＜m＜4．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$m，x₁x₂=$\frac{{m}^{2}-8}{4}$，
y₁=$\frac{\sqrt{2}{x}_{1}+m}{2}$，y₂=$\frac{\sqrt{2}{x}_{2}+m}{2}$，
則k₁+k₂=$\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}-\sqrt{2}}$+$\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}-\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}{x}_{1}+m-2}{2（{x}_{1}-\sqrt{2}）}$+$\frac{\sqrt{2}{x}_{2}+m-2}{2（{x}_{2}-\sqrt{2}）}$
=$\sqrt{2}$+$\frac{m}{2（{x}_{1}-\sqrt{2}）}$+$\frac{m}{2（{x}_{2}-\sqrt{2}）}$=$\sqrt{2}$+$\frac{m（{x}_{1}+{x}_{2}）-2\sqrt{2}m}{2（{x}_{1}-\sqrt{2}）（{x}_{2}-\sqrt{2}）}$
=$\sqrt{2}$+$\frac{-\frac{\sqrt{2}}{2}{m}^{2}-2\sqrt{2}m}{2（\frac{{m}^{2}-8}{4}+2+m）}$=$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$•$\frac{\frac{1}{2}{m}^{2}+2m}{\frac{1}{2}{m}^{2}+2m}$=0．

點評 本題考查橢圓的定義、方程和性質，考查直線和橢圓方程聯(lián)立，運用韋達定理，同時考查直線的斜率公式，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．