Question

3．已知函數(shù)f（x）=$\frac{lnx}{{x}^{2}}$-x-$\frac{k}{x}$+2e有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則k=$\frac{1}{e}$+e²．

Answer 1

分析 可化為k=$\frac{lnx}{x}$-x²+2ex有且只有一個(gè)解，再令g（x）=$\frac{lnx}{x}$-x²+2ex，求導(dǎo)g′（x）=$\frac{（1-lnx）+2{x}^{2}（e-x）}{{x}^{2}}$，從而判斷函數(shù)的單調(diào)性及最值，從而解得．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=$\frac{lnx}{{x}^{2}}$-x-$\frac{k}{x}$+2e有且只有一個(gè)零點(diǎn)，
∴方程$\frac{lnx}{{x}^{2}}$-x-$\frac{k}{x}$+2e=0有且只有一個(gè)解，
∴$\frac{lnx}{x}$-x²-k+2ex=0有且只有一個(gè)解，
即k=$\frac{lnx}{x}$-x²+2ex有且只有一個(gè)解，
令g（x）=$\frac{lnx}{x}$-x²+2ex，
g′（x）=$\frac{（1-lnx）+2{x}^{2}（e-x）}{{x}^{2}}$，
故當(dāng)x∈（0，e）時(shí)，g′（x）＞0，當(dāng)x∈（e，+∞）時(shí)，g′（x）＜0；
故g（x）在（0，e）上是增函數(shù)，在（e，+∞）上是減函數(shù)；
而g（e）=$\frac{1}{e}$-e²+2e²=$\frac{1}{e}$+e²，
故k=$\frac{1}{e}$+e²，
故答案為：$\frac{1}{e}$+e²．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系應(yīng)用及導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．