Question

如圖所示，在直角梯形P1DCB中，P1D∥CB，CD⊥P1D，且P1D＝6，BC＝3，DC＝，A是P1D的中點，沿AB把平面P1AB折起到平面PAB的位置，使二面角P－CD－B成角．設(shè)E、F分別是線段AB、PD的中點． (1) 求證：AF∥平面PEC (2) 求PC與底面所成角的正弦值

Answer 1

答案：
解析：

(1)

解析：方法一　設(shè)PC中點為G，連結(jié)FG． 　　∵FG∥CD∥AE，且GF=CD=AE，∴四邊形AEGF是平行四邊形，∴AF∥EG，EG平面PEC，∴AF∥平面PEC． 　　方法二：設(shè)線段PC的中點為G，連結(jié)EG． 　　∵＝＋＝＋ 　　　　 ＝＋(＋) 　　　　 ＝＋＋ 　　　　 ＝＋＋＝＋＝． 　　∴AF∥EG，又EG平面PEC，AF平面PEC，∴AF∥平面PEC

(2)

如圖所示，連結(jié)AC．∵BA⊥AD，BA⊥AP，∴BA⊥平面PAD．① 　　又∵CD∥BA，∴CD⊥PD，而CD⊥AD，∴∠PDA是二面角P－CD－B的平面角，∴∠PDA=． 　　又PA=AD=3，∴△PAD是等腰直角三角形，∴PA⊥AD．　② 　　由①、②得PA⊥平面ABCD，∴AC是PC在底面上的射影． 　　∵PA=3，AC===，∴PC==， 　　則sin∠PCA=≤，∴PC與底面所成角的正弦值為． 　　方法二：∵BA⊥P1D，∴BA⊥平面PAD，①又CD∥BA，∴CD⊥PD，CD⊥AD，∴∠PDA是二面角P－CD－B的平面角， 　　∴∠PDA＝，又PA＝AD＝3， 　　∴△PAD是等腰直角三角形，∴PA⊥AD．②由①、②得PA⊥平面ABCD， 　　設(shè)PA與PC所成的角為(0＜≤＝，則PC與平面ABCD所成的角為－． 　　∵＝－＝＋－，又∵、、兩兩互相垂直，且｜｜＝｜｜＝3，｜｜＝．∴sin(－)＝＝＝＝，故知PC與底面所成角的正弦值為． 　　點評：折疊問題的關(guān)鍵是弄清折疊前后的變與不變：半平面與半平面之間的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系一般改變，同一半平面內(nèi)的關(guān)系一般不變．