Question

7．已知數列{a_n}滿足a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{{a}_{n}+2}$，a₁=1，n∈N^*．
（1）求a₂，a₃，a₄的值；
（2）求數列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析 （1）由數列{a_n}滿足a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{{a}_{n}+2}$，a₁=1，n∈N^*．分別令n=1，2，3，即可得出．
（2）數列{a_n}滿足a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{{a}_{n}+2}$，a₁=1，n∈N^*．兩邊取倒數可得：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$，再利用等差數列的通項公式即可得出．

解答 解：（1）∵數列{a_n}滿足a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{{a}_{n}+2}$，a₁=1，n∈N^*．∴a₂=$\frac{2{a}_{1}}{{a}_{1}+2}$=$\frac{2}{3}$，同理可得：a₃=$\frac{1}{2}$，a₄=$\frac{2}{5}$．
（2）數列{a_n}滿足a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{{a}_{n}+2}$，a₁=1，n∈N^*．
兩邊取倒數可得：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{a}_{n}}$，即$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$，
∴數列$\{\frac{1}{{a}_{n}}\}$是等差數列，首項為1，公差為$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+$\frac{1}{2}$（n-1），解得a_n=$\frac{n+1}{2}$，
∴a_n=$\frac{2}{n+1}$．

點評 本題考查了等差數列的通項公式、遞推關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．