Question

已知sin(α+

π

4

)=-

3

5

(0＜α＜π)，則cos2α=

24

25

．

Answer 1

分析：將已知等式左邊利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡，求出sinα+cosα的值，兩邊平方并利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡求出2sinαcosα的值小于0，由α的范圍，得到sinα大于0，cosα小于0，利用完全平方公式求出sinα-cosα的值，將所求式子利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，再利用平方差公式變形，將各自的值代入即可求出值．

解答：解：∵sin（α+

π

4

）=

2

2

（sinα+cosα）=-

3

5

，∴sinα+cosα=-

3 2

5

，
∴（sinα+cosα）²=1+2sinαcosα=

18

25

，即2sinαcosα=-

7

25

＜0，
∵0＜α＜π，
∴sinα＞0，cosα＜0，即sinα-cosα＞0，
∴（sinα-cosα）²=1-2sinαcosα=

32

25

，
∴sinα-cosα=

4 2

5

，
則cos2α=cos²α-sin²α=（cosα+sinα）（cosα-sinα）=

24

25

．
故答案為：

24

25

點評：此題考查了二倍角的余弦函數(shù)公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，以及完全平方公式的運用，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．