Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²+（b-a）x（a，b不同時為零的常數(shù)），導(dǎo)函數(shù)為f′（x）．
（1）當(dāng)a=

1

3

時，若存在x∈[-3，-1]使得f′（x）＞0成立，求b的取值范圍；
（2）求證：函數(shù)y=f′（x）在（-1，0）內(nèi)至少有一個零點；
（3）若函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，且在x=1處的切線垂直于直線x+2y-3=0，關(guān)于x的方程f(x)=-

1

4

t在[-1，t]（t＞-1）上有且只有一個實數(shù)根，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

（1）當(dāng)a=

1

3

時，f′（x）=x2+2bx+b-

1

3

=(x+b)2-b2+b-

1

3

，
其對稱軸為直線x=-b，當(dāng)

-b≥-2 f′(-3)＞0

，解得b＜

26

15

，
當(dāng)

-b＜-2 f′(-1)＞0

，b無解，
所以b的取值范圍為(-∞ ， 

26

15

)；（4分）
（2）因為f′（x）=3ax²+2bx+（b-a），
∴f′（0）=b-a，f'（-1）=2a-b，f′(-

1

3

)=

b-2a

3

．
由于a，b不同時為零，所以f′(-

1

3

)•f′(-1)＜0，故結(jié)論成立．
（3）因為f（x）=ax³+bx²+（b-a）x為奇函數(shù)，所以b=0，所以f（x）=ax³-ax，
又f（x）在x=1處的切線垂直于直線x+2y-3=0．
所以a=1，即f（x）=x³-x．因為f′(x)=3(x-

3

3

)(x+

3

3

)
所以f（x）在(-∞，-

3

3

) ， (

3

3

，+∞)上是増函數(shù)，
在[-

3

3

，

3

3

]上是減函數(shù)，由f（x）=0解得x=±1，x=0，
如圖所示，當(dāng)-1＜t≤-

3

3

時，f(t)≥-

1

4

t≥0，即t3-t≥-

t

4

，解得-

3

2

≤t≤-

3

3

；
當(dāng)-

3

3

＜t＜0時，f(t)＞-

1

4

t≥0，解得-

3

3

＜t＜0；當(dāng)t=0時，顯然不成立；
當(dāng)0＜t≤

3

3

時，f(t)≤-

1

4

t＜0，即t3-t≤-

t

4

，解得0＜t≤

3

3

；
當(dāng)t＞

3

3

時，f(t)＜-

1

4

t＜0，故

3

3

＜t＜

3

2

．
所以所求t的取值范圍是-

3

2

≤t＜0或0＜t＜

3

2

．