Question

【題目】如圖，已知等邊中，分別為邊的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為邊上一點(diǎn)，且，將沿折到的位置，使平面平面.

（I）求證：平面平面；

（II）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（I）證明見解析；（II）．

【解析】

試題分析：（I）易得，.又由平面平面平面.由以和平面平面平面；（II）先證和,再建立空間直角坐標(biāo)系，然后求平面的法向量和平面的向量.

試題解析：（I）因?yàn)?/span>為等邊的邊的中點(diǎn)，所以是等邊三角形，且．

因?yàn)?/span>是的中點(diǎn)，所以.

又由于平面平面,平面，所以平面

又平面，所以.

因?yàn)?/span>，所以，所以.

在正中知，所以.

而，所以平面.

又因?yàn)?/span>平面，所以平面平面.

（II）設(shè)等邊的邊長為4，取中點(diǎn)，連接，由題設(shè)知，由（I）知平面，又平面，所以,如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則,,,,.

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則由

得令，則.

平面的一個(gè)法向量為，所以，

顯然二面角是銳角

所以二面角的余弦值為.