Question

【題目】已知數(shù)列{an}，從中選取第i1項(xiàng)、第i2項(xiàng)、…、第im項(xiàng)(i1<i2<…<im)，若，則稱新數(shù)列為{an}的長(zhǎng)度為m的遞增子列．規(guī)定：數(shù)列{an}的任意一項(xiàng)都是{an}的長(zhǎng)度為1的遞增子列．

（Ⅰ）寫出數(shù)列1，8，3，7，5，6，9的一個(gè)長(zhǎng)度為4的遞增子列；

（Ⅱ）已知數(shù)列{an}的長(zhǎng)度為p的遞增子列的末項(xiàng)的最小值為，長(zhǎng)度為q的遞增子列的末項(xiàng)的最小值為.若p<q，求證：<；

（Ⅲ）設(shè)無窮數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正整數(shù)，且任意兩項(xiàng)均不相等.若{an}的長(zhǎng)度為s的遞增子列末項(xiàng)的最小值為2s–1，且長(zhǎng)度為s末項(xiàng)為2s–1的遞增子列恰有2s-1個(gè)（s=1，2，…），求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

【答案】(Ⅰ) 1,3,5,6.

(Ⅱ)見解析；

(Ⅲ)見解析.

【解析】

(Ⅰ)由題意結(jié)合新定義的知識(shí)給出一個(gè)滿足題意的遞增子列即可；

(Ⅱ)利用數(shù)列的性質(zhì)和遞增子列的定義證明題中的結(jié)論即可；

(Ⅲ)觀察所要求解數(shù)列的特征給出一個(gè)滿足題意的通項(xiàng)公式，然后證明通項(xiàng)公式滿足題中所有的條件即可.

(Ⅰ)滿足題意的一個(gè)長(zhǎng)度為4的遞增子列為：1,3,5,6.

(Ⅱ)對(duì)于每一個(gè)長(zhǎng)度為的遞增子列，都能從其中找到若干個(gè)長(zhǎng)度為的遞增子列，此時(shí)，

設(shè)所有長(zhǎng)度為的子列的末項(xiàng)分別為：，

所有長(zhǎng)度為的子列的末項(xiàng)分別為：，

則，

注意到長(zhǎng)度為的子列可能無法進(jìn)一步找到長(zhǎng)度為的子列，

故，

據(jù)此可得：.

(Ⅲ)滿足題意的一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式可以是，

下面說明此數(shù)列滿足題意.

很明顯數(shù)列為無窮數(shù)列，且各項(xiàng)均為正整數(shù)，任意兩項(xiàng)均不相等.

長(zhǎng)度為的遞增子列末項(xiàng)的最小值為2s-1，

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明長(zhǎng)度為s末項(xiàng)為2s-1的遞增子列恰有個(gè)：

當(dāng)時(shí)命題顯然成立，

假設(shè)當(dāng)時(shí)命題成立，即長(zhǎng)度為k末項(xiàng)為2k-1的遞增子列恰有個(gè)，

則當(dāng)時(shí)，對(duì)于時(shí)得到的每一個(gè)子列，

可構(gòu)造：和兩個(gè)滿足題意的遞增子列，

則長(zhǎng)度為k+1末項(xiàng)為2k+1的遞增子列恰有個(gè)，

綜上可得，數(shù)列是一個(gè)滿足題意的數(shù)列的通項(xiàng)公式.

注：當(dāng)時(shí)，所有滿足題意的數(shù)列為：，

當(dāng)時(shí)，數(shù)列對(duì)應(yīng)的兩個(gè)遞增子列為：和.