Question

【題目】如圖，在四棱錐中，與交于點(diǎn)，，，.

（Ⅰ）在線段上找一點(diǎn)，使得平面，并證明你的結(jié)論；

（Ⅱ）若，，，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）.

【解析】

（I）取線段上靠近的三等分點(diǎn)，連接，因?yàn)?/span>，，所以，由，得，所以，即可證明結(jié)論成立.

（II）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以直線分別為軸，過(guò)點(diǎn)且與平面垂直的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個(gè)法向量為，平面的個(gè)法向量為，由向量法即可求出二面角的平面角.

（I）取線段上靠近的三等分點(diǎn)，連接.因?yàn)?/span>，，所以,所以.而，所以，所以.而平面.平面，故平面.

（II）易知 為等邊三角形，所以.又，故，所以有.由已知可得，又，所以平面.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以直線分別為軸，過(guò)點(diǎn)且與平面垂直的直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)，則，所以，，，，則，，，.

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則有即

設(shè)，則，所以.

設(shè)平面的個(gè)法向量為，則有即

令，則，所以.

所以.

因?yàn)槎�面�?/span>為銳角，故所求二面角的余弦值為.