Question

20．已知圓C的圓心在直線2x-y-7=0上，且與y軸交于A（0，-4），B（0，-2）兩點
（1）求圓C的標準方程；
（2）過點P（-1，-4）作圓C的切線，切點分別為點A，B，求切線的方程及切線長．

Answer 1

分析 （1）求出圓心與半徑，即可求圓C的標準方程；
（2）設過點P（-1，-4）的切線方程為y+4=k（x+1），利用圓心到直線的距離等于半徑，建立方程，求出切線方程，利用勾股定理求出切線長．

解答 解：（1）圓心C在線段AB的垂直平分線y=-3上
由$\left\{{\begin{array}{l}{y=-3}\\{2x-y-7=0}\end{array}}\right.$得圓心C（2，-3）--------------------------------（3分）
所以半徑$r=\sqrt{{{（2-0）}^2}+{{（-3+2）}^2}}=\sqrt{5}$
所以圓C的標準方程：（x-2）²+（y+3）²=5--------------------------------（5分）
（2）設過點P（-1，-4）的切線方程為y+4=k（x+1）
即kx-y+k-4=0，有：$\frac{{|{3k-1}|}}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=\sqrt{5}$，---------------------------------------------------------------------（8分）
∴2k²-3k-2=0，解得$k=-\frac{1}{2}或k=2$，
∴所求切線的方程為x+2y+9=0或2x-y-2=0----------------------------（12分）
由圓的性質可知：$PA=PB=\sqrt{P{C^2}-{r^2}}=\sqrt{{{（{-1-2}）}^2}+{{（{-4+3}）}^2}-5}=\sqrt{5}$------------------（14分）

點評 本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關系，考查學生的計算能力，屬于中檔題．