Question

給出下列命題：①存在實數(shù)x，使得sinx+cosx=

π

3

；②函數(shù)y=sinx的圖象向右平移

π

4

個單位，得到y=sin(2x+

π

4

)的圖象；③函數(shù)y=sin(

2

3

x-

7

2

π)是偶函數(shù)；④已知α，β是銳角三角形ABC的兩個內(nèi)角，則sinα＞cosβ．其中正確的命題的個數(shù)為（　　）

• A、1個
• B、2個
• C、3個
• D、4個

Answer 1

分析：本題考查的知識點是命題真假的判斷及三角形函數(shù)的值域、圖象平移變換，奇偶性判斷及解三角形等知識點，根據(jù)上述知識點對四個命題逐一進行判斷，即可得到答案．

解答：解：①中令y=sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)
則-

2

≤y≤

2

∵-

2

≤

π

3

≤

2

∴存在實數(shù)x，使得sinx+cosx=

π

3

；即①正確．
②中函數(shù)y=sinx的圖象向右平移

π

4

個單位
得到y=sin(x-

π

4

)的圖象，故②錯誤．
③當X=0時，函數(shù)y=sin(

2

3

x-

7

2

π)=1
故函數(shù)y=sin(

2

3

x-

7

2

π)的圖象關(guān)于Y軸對稱
故函數(shù)y=sin(

2

3

x-

7

2

π)是偶函數(shù)，即③正確．
④∵三角形ABC為銳角三角形，故α+β＞

π

2

∴

π

2

＞α＞

π

2

-β＞0
∴sinα＞sin（

π

2

-β）=cosβ，即④正確
故正確的命題的個數(shù)為3個
故選C

點評：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）中，最大值或最小值由A確定，再根據(jù)最大值為|A|，最小值為-|A|；平移變換的口決是“左加右減，上加下減”，左右是指X的變量，上下指函數(shù)值的變化；函數(shù)y=Asin（ωx+φ）為奇函數(shù)，φ的終邊落在X軸上，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）為偶函數(shù)，φ的終邊落在Y軸上．