Question

4．設(shè)數(shù)列{a_n}中，a₁=3，a_n+1=a_n+n+1，則通項(xiàng)a_n=（　�。�

• A． $\frac{{{n^2}+n+1}}{2}$
• B． $\frac{{{n^2}+n+2}}{2}$
• C． $\frac{{{n^2}+n+3}}{2}$
• D． $\frac{{{n^2}+n+4}}{2}$

Answer 1

分析 當(dāng)n≥2時(shí)，利用a_n-a₁=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）計(jì)算可知a_n=$\frac{{n}^{2}+n+4}{2}$（n≥2），進(jìn)而驗(yàn)證當(dāng)n=1時(shí)是否成立即可．

解答 解：∵a₁=3，a_n+1=a_n+n+1，
∴a_n+1-a_n=n+1，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，a_n-a₁=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）
=n+（n-1）+…+2
=$\frac{（n-1）（n+2）}{2}$，
∴a_n=$\frac{{n}^{2}+n-2}{2}$+3=$\frac{{n}^{2}+n+4}{2}$（n≥2），
又∵a₁=3滿(mǎn)足上式，
∴a_n=$\frac{{n}^{2}+n+4}{2}$，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查并項(xiàng)相加法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．