Question

19．四棱錐P-ABCD底面是菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E、F分別是BC、PC的中點．
（Ⅰ）求證：平面AEF⊥平面PAD；
（Ⅱ）若$\frac{PA}{AB}$=$\sqrt{3}$，設H為PD的四等分點（靠近點D），求EH與平面AEF所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （I）由PA⊥平面ABCD得PA⊥AE，由菱形及等邊三角形性質得出AE⊥AD，故而AE⊥平面PAD，于是平面AEF⊥平面PAD；
（II）設AB=2a，以A為原點建立空間坐標系，求出$\overrightarrow{EH}$和平面AEF的法向量$\overrightarrow{n}$，則EH與平面AEF所成角的正弦值為|cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{EH}$＞|．

解答 （Ⅰ）證明：∵底面ABCD底面是菱形，∠ABC=60°
∴△ABC是正三角形，∠BAD=120°，
∵E為BC中點，
∴AE⊥BC，∠BAE=30°，
∴∠EAD=∠BAD-∠BAE=120°-30°=90°，即AE⊥AD，
∵PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，
∴PA⊥AE，
又AD?平面PAD，PA?平面PAD，AD∩PA=A，
∴AE⊥平面PAD∵AE?平面AEF，
∴平面AEF⊥平面PAD．
（Ⅱ）由（1）知，AE⊥平面PAD，
設AB=2a，則$AE=\sqrt{3}a$，$PA=2\sqrt{3}a$．
以$\overrightarrow{AE}、\overrightarrow{AD}、\overrightarrow{AP}$為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，則
P（0，0，$2\sqrt{3}a$），E（$\sqrt{3}a$，0，0），C（$\sqrt{3}a$，a，0），F(xiàn)（$\frac{{\sqrt{3}}}{2}a$，$\frac{1}{2}a$，$\sqrt{3}a$），H（0，$\frac{3}{2}a$，$\frac{\sqrt{3}}{2}a$）
∴$\overrightarrow{AE}$=（$\sqrt{3}a$，0，0），$\overrightarrow{AF}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，$\frac{1}{2}a$，$\sqrt{3}a$），$\overrightarrow{EH}$=（-$\sqrt{3}a$，$\frac{3}{2}a$，$\frac{\sqrt{3}}{2}a$）．
設平面AEF的一個法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AF}=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}ax=0}\\{\frac{\sqrt{3}}{2}ax+\frac{1}{2}ay+\sqrt{3}az=0}\end{array}\right.$，令z=1，得$\overrightarrow{n}$=（0，$-2\sqrt{3}$，1）．
∴cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{EH}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EH}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{EH}|}$=$\frac{-\frac{5\sqrt{3}}{2}a}{\sqrt{13}\sqrt{6}a}$=-$\frac{5\sqrt{26}}{52}$．
∴EH與平面AEF所成角的正弦值為$\frac{{5\sqrt{26}}}{52}$．

點評 本題考查了面面垂直的判定，空間向量的應用與線面角的計算，屬于中檔題．