Question

已知雙曲線x²-=1，過點(diǎn)P（2，1）作一條直線交雙曲線于A，B，并使P為AB的中點(diǎn)，求AB所在直線的方程和弦AB的長

Answer 1

【答案】分析：設(shè)出直線AB的方程與雙曲線方程聯(lián)立消去y，設(shè)兩實(shí)根為x₁，x₂，利用韋達(dá)定理可表示出x₁+x₂的值，根據(jù)P點(diǎn)坐標(biāo)求得x₁+x₂=4進(jìn)而求得k，則直線AB的方程可得，進(jìn)而利用弦長公式求得|AB|．
解答：解：易知直線AB不與y軸平行，設(shè)其方程為y-1=k（x-2）
由
得（3-k²）x²+2k（2k-1）x-4（k²-k+1）=0
設(shè)此方程兩實(shí)根為x₁，x₂，
則x₁+x₂=
又P（2，1）為AB的中點(diǎn)，
所以=4
解得，k=6
當(dāng)k=6時，直線與雙曲線相交，即上述二次方程的△＞0所求直線AB的方程為y-1=6（x-2）化成一般式為6x-y-11=0．
∴|AB|==×=．
點(diǎn)評：本題主要考查了雙曲線的應(yīng)用，圓錐曲線與直線的關(guān)系，弦長公式等．考查了學(xué)生綜合分析和推理的能力．