Question

某人需要補充維生素，現(xiàn)有甲、乙兩種維生素膠囊，這兩種膠囊都含有維生素A，C，D，E和最新發(fā)現(xiàn)的Z．甲種膠囊每粒含有維生素A，C，D，E，Z分別是1mg，1mg，4mg，4mg，5mg；乙種膠囊每粒含有維生素A，C，D，E，Z分別是3mg，2mg，1mg，3mg，2mg．此人每天攝入維生素A至多19mg，維生素C至多13mg，維生素D至多24mg，維生素E至少12mg．
（1）設(shè)該人每天服用甲種膠囊x粒，乙種膠囊y粒，為了能滿足此人每天維生素的需要量，請寫出x，y滿足的不等關(guān)系．
（2）在（1）的條件下，他每天服用兩種膠囊分別為多少時，可攝入最大量的維生素Z，且最大量為多少？

Answer 1

考點：簡單線性規(guī)劃

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）直接由題意列出關(guān)于x，y的不等關(guān)系所組成的不等式組；
（2）由（1）中的不等式組作出可行域，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求出最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)得答案．

解答： 解：（1）由題意列關(guān)于x，y的不等式組

x+3y≤19 x+2y≤13 4x+y≤24 4x+3y≥12 x≥0 y≥0

；
（2）目標(biāo)函數(shù)為：z=5x+2y．
作出以上不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域如圖．

作直線l：5x+2y=0，把直線向右上方平移，直線經(jīng)過可行域上的點M時，z=5x+2y取得最大值．
解方程組

x+2y=13 4x+y=24

得M點坐標(biāo)為（5，4），此時z=5×5+2×4=33（mg）．
答：每天服用5粒甲種膠囊和4粒乙種膠囊時，可攝入最大量的維生素Z為33mg．

點評：本題考查了簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．