Question

15．在三棱錐O-ABC中，M，N分別是OA，BC的中點，G是三角形ABC的重心，則$\overrightarrow{OG}$=（　　）

• A． $\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OB}$+$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{OC}$
• B． $\frac{1}{4}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OC}$
• C． $\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OB}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OC}$
• D． $\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OB}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OC}$

Answer 1

分析 由重心的性質得出$\overrightarrow{AG}$=$\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$-2$\overrightarrow{OG}$，再利用$\overrightarrow{OG}$=$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AG}$即可得出答案．

解答 解：∵G是△ABC的重心，
∴$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{0}$，
∴$\overrightarrow{AG}$=$\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}$，
又$\overrightarrow{GB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OG}$，$\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OG}$，
∴$\overrightarrow{AG}$=$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$-2$\overrightarrow{OG}$，
∴$\overrightarrow{OG}$=$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AG}$=$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$-2$\overrightarrow{OG}$，
∴3$\overrightarrow{OG}$=$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$，
即$\overrightarrow{OG}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OC}$．
故選D．

點評 本題考查了平面向量的幾何運算，三角形重心的性質，屬于中檔題．