Question

8．如圖，設(shè)拋物線C₁：y²=-4mx（m＞0）的準(zhǔn)線l與x軸交于橢圓C₂：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點F₂，F(xiàn)₁為C₂的左焦點．橢圓的離心率為e=$\frac{1}{2}$，拋物線C₁與橢圓C₂交于x軸上方一點P，連接PF₁并延長其交C₁于點Q，M為C₁上一動點，且在P，Q之間移動．
（1）當(dāng)$\frac{a}{2}+\frac{\sqrt{3}}$取最小值時，求C₁和C₂的方程；
（2）若△PF₁F₂的邊長恰好是三個連續(xù)的自然數(shù)，當(dāng)△MPQ面積取最大值時，求面積最大值以及此時直線MP的方程．

Answer 1

分析 （1）用m表示出a，b，根據(jù)基本不等式得出m的值，從而得出C₁和C₂的方程；
（2）用m表示出橢圓方程，聯(lián)立方程組得出P點坐標(biāo)，計算出△PF₁F₂的三邊關(guān)于m的式子，從而確定m的值，求出PQ的距離和M到直線PQ的距離，利用二次函數(shù)性質(zhì)得出△MPQ面積的最大值，即可求得直線MP的方程．

解答 解：（1）因為c=m，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，則a=2m，b=$\sqrt{3}$m，所以$\frac{a}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}$取最小值時m=1，
拋物線C₁：y²=-4x，此時a=2，b²=3，
所以橢圓C₂的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）因為c=m，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，則a=2m，b=$\sqrt{3}$m，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{4{m}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{3{m}^{2}}=1$，
設(shè)P（x₀，y₀），Q（x₁，y₁），
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4{m}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{3{m}^{2}}=1}\\{{y}^{2}=-4mx}\end{array}\right.$，整理得3x²-16mx-12m²=0，解得x₀=-$\frac{2}{3}$m或x₀=6m（舍去），
代入拋物線方程得y₀=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$m，即P（-$\frac{2}{3}$m，$\frac{2\sqrt{6}}{3}$m），
于是|PF₁|=$\frac{5m}{3}$，|PF₂|=2a-|PF₁|=$\frac{7m}{3}$，|F₁F₂|=2m=$\frac{6m}{3}$，
又△PF₁F₂的邊長恰好是三個連續(xù)的自然數(shù)，∴m=3．
∴拋物線方程為y²=-12x，F(xiàn)₁（-3，0），P（-2，2$\sqrt{6}$），
∴直線PQ的方程為y=2$\sqrt{6}$（x+3）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=2\sqrt{6}（x+3）}\\{{y}^{2}=-12x}\end{array}\right.$，得x₁=-$\frac{9}{2}$或x₁=-2（舍去），于是Q（-$\frac{9}{2}$，-3$\sqrt{6}$）．
∴|PQ|=$\sqrt{（-2+\frac{9}{2}）^{2}+（2\sqrt{6}+3\sqrt{6}）^{2}}$=$\frac{25}{2}$，
設(shè)M（-$\frac{{t}^{2}}{12}$，t）（t∈（-3$\sqrt{6}$，2$\sqrt{6}$））到直線PQ的距離為d，則d=$\frac{\sqrt{6}}{30}$×|（t+$\frac{\sqrt{6}}{2}$）²-$\frac{75}{2}$|，
∴當(dāng)t=-$\frac{\sqrt{6}}{2}$時，d_max=$\frac{\sqrt{6}}{30}$×$\frac{75}{2}$=$\frac{5\sqrt{6}}{4}$，
∴△MPQ的面積最大值為$\frac{1}{2}$×$\frac{25}{2}$×$\frac{5\sqrt{6}}{4}$=$\frac{125\sqrt{6}}{16}$．
此時M（-$\frac{1}{8}$，-$\frac{\sqrt{6}}{2}$），
∴直線MP的方程為y=-$\frac{4\sqrt{6}}{3}$x-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．

點評 本題考查橢圓及拋物線的性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．