Question

4．在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為平行四邊形，AB=1，AC=$\sqrt{3}$，AD=2，M、N分別為棱PA、BC的中點(diǎn)．
（1）求證：MN∥平面PCD；
（2）若二面角P-CD-B等于30°，求四棱錐P-ABCD的體積．

Answer 1

分析 （1）取PD中點(diǎn)E，連結(jié)NE，CE，可證MNEC為平行四邊形，由MN∥CE即可判定MN∥平面PCD；
（2）證明AC⊥CD，確定∠PCA是二面角P-CD-B的平面角，求出PA，即可求四棱錐P-ABCD的體積．

解答 （1）證明：取PD中點(diǎn)E，連結(jié)NE，CE．
∵N為PA中點(diǎn)，∴NE∥AD，NE=$\frac{1}{2}$AD，
又M為BC中點(diǎn)，底面ABCD為平行四邊形，∴MC∥AD，MC=$\frac{1}{2}$AD．
∴NE∥MC，NE=MC，即MNEC為平行四邊形，
∴MN∥CE．
∵EC?平面PCD，且MN?平面PCD，∴MN∥平面PCD．
（2）解：∵AB=1，AC=$\sqrt{3}$，AD=2，
∴AB²+AC²=AD²，∴AC⊥CD，
∵PA⊥平面ABCD，
∴PC⊥CD，
∴∠PCA是二面角P-CD-B的平面角，即∠PCA=30°，
∴PA=$\sqrt{3}$tan30°=1，
∴四棱錐P-ABCD的體積=$\frac{1}{3}$×$2×\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}×1$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了線與平面平行的判定，考查二面角P-CD-B的平面角、四棱錐P-ABCD的體積，關(guān)鍵在于熟練掌握直線與平面平行的判定定理及其應(yīng)用，考查了空間想象能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．