某汽車生產(chǎn)企業(yè)上年度生產(chǎn)一品牌汽車的投入成本為10萬元/輛,出廠價為13萬元/輛,年銷售量為5000輛.本年度為適應市場需求,計劃提高產(chǎn)品檔次,適當增加投入成本,若每輛車投入成本增加的比例為(0<<1,則出廠價相應提高的比例為0.7,年銷售量也相應增加.已知年利潤=(每輛車的出廠價-每輛車的投入成本)×年銷售量.
(1)若年銷售量增加的比例為0.4,為使本年度的年利潤比上年度有所增加,則投入成本增加的比例應在什么范圍內(nèi)?
(2)年銷售量關于的函數(shù)為,則當為何值時,本年度的年利潤最大?最大利潤為多少?
(1);(2)當時,本年度的年利潤最大,最大利潤為20000萬元.

試題分析:(1)由題意得:本年度每輛車的投入成本為10×(1+x);
出廠價為13×(1+0.7x);年銷售量為5000×(1+0.4x),     2分
因此本年度的利潤為

即:  6分
,     得       8分
(2)本年度的利潤為

         10分
 
是增函數(shù);當是減函數(shù).
∴當時,萬元,      12分
因為在(0,1)上只有一個極大值,所以它是最大值,       14分
所以當時,本年度的年利潤最大,最大利潤為20000萬元.      16分
點評:研究數(shù)學模型,建立數(shù)學模型,進而借鑒數(shù)學模型,對提高解決實際問題的能力,以及提高數(shù)學素養(yǎng)都是十分重要的.建立模型的步驟可分為: (1) 分析問題中哪些是變量,哪些是常量,分別用字母表示; (2) 根據(jù)所給條件,運用數(shù)學知識,確定等量關系; (3) 寫出的解析式并指明定義域。
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(注:正品率=產(chǎn)品的正品件數(shù)÷產(chǎn)品總件數(shù)×100%)
(1)將日利潤(元)表示成日產(chǎn)量(件)的函數(shù);
(2)求該廠的日產(chǎn)量為多少件時,日利潤最大?并求出日利潤的最大值.

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