Question

9．已知函數(shù)f（x）=lnx-$\frac{a（x-1）}{x}$（a∈R）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）求證：?x∈（1，2），不等式$\frac{1}{lnx}$-$\frac{1}{x-1}$＜$\frac{1}{2}$恒成立．

Answer 1

分析 （Ⅰ）函數(shù)的定義域是（0，+∞），求出導(dǎo)數(shù)，分a≤0和a＞0兩種情況討論導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，得到單調(diào)區(qū)間．
（Ⅱ）將要證的不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為F（x）＞0在區(qū)間（1，2）上恒成立，利用導(dǎo)數(shù)求出F（x）的最小值，只要最小值大于0即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
∴$f'（x）=\frac{x-a}{x^2}$，
①若a≤0，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
②若a＞0，當(dāng)x∈（0，a）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）在（0，a）單調(diào)遞減．
當(dāng)x∈（a，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在（a，+∞）單調(diào)遞增．
（Ⅱ）證明：∵1＜x＜2，
∴l(xiāng)nx＞0，x-1＞0，
$要證\frac{1}{lnx}-\frac{1}{x-1}＜\frac{1}{2}$
只需證$\frac{1}{lnx}＜\frac{1}{2}+\frac{1}{x-1}$，
即證$\frac{1}{lnx}＜\frac{x+1}{2（x-1）}$，
即證（x+1）lnx-2（x-1）＞0，
令F（x）=（x+1）lnx-2（x-1），
則${F^/}（x）=lnx+\frac{（x+1）}{x}-2=lnx+\frac{1}{x}-1$，
由（Ⅰ）知，當(dāng)a=1時(shí)f_min（x）=f（1）=0，
∴f（x）＞f（1），即$lnx+\frac{1}{x}-1≥0$．
∴F'（x）≥0，則F（x）在（1，2）上單調(diào)遞增，
∴F（x）＞F（1）=0，
故?x∈（1，2），不等式$\frac{1}{lnx}$-$\frac{1}{x-1}$＜$\frac{1}{2}$恒成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即單調(diào)性，函數(shù)的零點(diǎn)及函數(shù)恒成立問題，要證F（x）＞0，只要證F（x）的最小值大于0．