Question

19．已知f（x）=xlnx-$\frac{1}{2}a$x²+a．
（Ⅰ）當a=1時，判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）若函數(shù)F（x）=f（x）-x有兩個不同的極值點x₁，x₂．
（i）求實數(shù)a的取值范圍；
（ii）求證：f（x₂）＞$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 （I）求出f′（x）=lnx-x+1，f″（x）=$\frac{1}{x}-1$，判斷f′（x）的單調(diào)性，求出f′（x）的最值得出f（x）的單調(diào)性；
（II）（i）令F′（x）=0得a=$\frac{lnx}{x}$，求出h（x）=$\frac{lnx}{x}$的單調(diào)性和最值，根據(jù)a=h（x）有兩解得出a的范圍；
（ii）根據(jù)x₂＞e和a=$\frac{ln{x}_{2}}{{x}_{2}}$及不等式的性質(zhì)計算f（x₂）即可得出結(jié)論．

解答 解：（I）f（x）的定義域為（0，+∞）．
a=1時，f（x）=xlnx-$\frac{1}{2}$x²+1，f'（x）=lnx+1-x，
∴f″（x）=$\frac{1}{x}$-1=$\frac{1-x}{x}$，
當x＞1時，f″（x）＜0，當0＜x＜1時，f″（x）＞0，
∴f′（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）單調(diào)遞減，
∴f′（x）≤f′（1）=0，
∴f（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)．
（II）（i）F（x）=f（x）-x=xlnx-$\frac{1}{2}$ax²-x+a，
F'（x）=lnx-ax．
若F（x）有兩個極值點x₁，x₂，則F'（x）=lnx-ax=0有兩根x₁，x₂，
即$a=\frac{lnx}{x}$有兩根x₁，x₂．
設(shè)h（x）=$\frac{lnx}{x}$，則h′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
∴當x＞e時h'（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減；當0＜x＜e時h'（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增；
∴h_max（x）=h（e）=$\frac{1}{e}$，
又當x＞1時，$\frac{lnx}{x}$＞0，
∴a的取值范圍是$（0，\frac{1}{e}）$．
（ii）由（i）知x₂＞e，a=$\frac{ln{x}_{2}}{{x}_{2}}$．
∴f（x₂）=x₂lnx₂-$\frac{1}{2}$ax₂²+a=x₂lnx₂-$\frac{1}{2}$$\frac{ln{x}_{2}}{{x}_{2}}$x₂²+$\frac{ln{x}_{2}}{{x}_{2}}$=$\frac{1}{2}$x₂lnx₂+$\frac{ln{x}_{2}}{{x}_{2}}$＞2$\sqrt{\frac{1}{2}{x}_{2}•\frac{1}{{x}_{2}}}$lnx₂=$\sqrt{2}$lnx₂＞$\sqrt{2}$lne=$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，函數(shù)最值的計算，屬于中檔題．