Question

11．如圖，在直角梯形ABCP中，CP∥AB，CP⊥CB，AB=BC=$\frac{1}{2}$CP=2，D是CP的中點(diǎn)，將△PAD沿AD折起，使得PD⊥面ABCD．

（1）求證：平面PAD⊥平面PCD；
（2）若E是PC的中點(diǎn)，求三棱錐D-PEB的體積．

Answer 1

分析 （1）由PD⊥底面ABCD，得PD⊥AD．結(jié)合CP∥AB，CP⊥CB，AB=BC，可得ABCD為正方形，得到AD⊥CD，則AD⊥底面PCD，再由面面垂直的判定得平面PAD⊥底面PCD；
（2）由PD=DC，E是PC的中點(diǎn)，得DE⊥PC．結(jié)合（1）知AD⊥底面PCD，得AD⊥DE．從而得到BC⊥DE．進(jìn)一步得到DE⊥底面PBC．然后求解直角三角形得到三角形PBC的面積代入體積公式得答案．

解答 （1）證明：∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AD．
又由于CP∥AB，CP⊥CB，AB=BC，∴ABCD為正方形，
∴AD⊥CD，又PD∩CD=D，故AD⊥底面PCD，
∵AD?平面PAD，∴平面PAD⊥底面PCD；
（2）解：∵PD=DC，E是PC的中點(diǎn)，∴DE⊥PC．
由（1）知有AD⊥底面PCD，∴AD⊥DE．
由題意得AD∥BC，故BC⊥DE．
于是，由BC∩PC=C，可得DE⊥底面PBC．
∴DE=$\sqrt{2}$，PC=2$\sqrt{2}$，
又∵AD⊥底面PCD，∴AD⊥CP，
∵AD∥BC，∴AD⊥BC．
∴S_△PEB=$\frac{1}{2}$S_△PBC=$\frac{1}{2}$×$（\frac{1}{2}×BC×PC）$=$\sqrt{2}$
∴V_D-PEB=$\frac{1}{3}$×DE×S_△PEB=$\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查平面與平面垂直的判斷，考查了棱錐體積的求法，關(guān)鍵是明確折疊問題折疊前后的變量與不變量，是中檔題．