Question

16．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為F（1，0），離心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
（1）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過(guò)點(diǎn)（-1，0）的直線l與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，且|AB|=$\sqrt{2}$+1，求直線l的斜率．

Answer 1

分析 （1）由c=1，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，a=$\sqrt{2}$，b²=a²-c²=2-1=1，即可求得橢圓方程；
（2）由題意可知：當(dāng)斜率不存在時(shí)，|AB|=$\sqrt{2}$，不滿足，設(shè)直線方程為：y=k（x+1），代入橢圓方程，由韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式即可求得|AB|，代入即可求得k的值．

解答 解：（1）由題意可知：c=1，
由橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即a=$\sqrt{2}$，
由b²=a²-c²=2-1=1，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（2）當(dāng)斜率不存在時(shí)，將直線x=-1代入橢圓方程，求得A（-1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），B（-1，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
|AB|=$\sqrt{2}$，與|AB|=$\sqrt{2}$+1矛盾，
l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為：y=k（x+1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+1）}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0，
由韋達(dá)定理可知：x₁+x₂=-$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
由|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{\frac{16{k}^{4}}{（1+2{k}^{2}）^{2}}-\frac{4（2{k}^{2}-2）}{1+2{k}^{2}}}$=$\sqrt{2}$+1，
整理得k²=$\sqrt{2}$-1，
∴k=±$\sqrt{\sqrt{2}-1}$，
直線l的斜率±$\sqrt{\sqrt{2}-1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．