Question

如圖，圓柱OO₁內(nèi)有一個(gè)三棱柱ABC-A₁B₁C₁，三棱柱的底面為圓柱底面的內(nèi)接三角形，且AB是圓O直徑，AA₁=AC=CB=2．E，F(xiàn)分別為AC，BC上的動(dòng)點(diǎn)，且CE=BF．
（Ⅰ）證明：平面A₁ACC₁⊥平面B₁BCC₁；
（Ⅱ）設(shè)CE=BF=x，當(dāng)x為何值時(shí)，三棱錐C₁-ECF的體積最大，最大值為多少？
（Ⅲ）若F為線段BC的中點(diǎn)，請(qǐng)問CC₁上是否存在點(diǎn)M，使得B₁M⊥C₁O，若存在請(qǐng)求出C₁M的長，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定,旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺(tái)）

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）由已知得BB₁⊥AC，BC⊥AC，從而AC⊥平面B₁BCC₁，由此能證明平面A₁ACC₁⊥平面B₁BCC₁．
（Ⅱ）由CE=BF=x，得CF=2-x，從而VC1-ECF=

1

3

CC1•S△ECF=

1

3

•2•

1

2

x(2-x)=

1

3

[-(x-1)2+1]，由此求出x=1時(shí)，三棱錐C₁-ECF的體積最大，最大值為

1

3

．
（Ⅲ）若F為線段BC的中點(diǎn)，則C₁M=1=CF，由已知得FO∥AC，從而FO⊥平面CBB₁C₁，F(xiàn)O⊥B₁M，由此能求出B₁M⊥C₁O．

解答： （Ⅰ）證明：∵BB₁⊥平面ABC，AC?平面ABC，
∴BB₁⊥AC，
∵AB是圓O的直徑，∴BC⊥AC，
又BC∩BB₁=B，
∴AC⊥平面B₁BCC₁，
∵AC?平面B₁BCC₁，∴平面A₁ACC₁⊥平面B₁BCC₁．
（Ⅱ）解：∵CE=BF=x，∴CF=2-x，
∴VC1-ECF=

1

3

CC1•S△ECF=

1

3

•2•

1

2

x(2-x)
=

1

3

(2x-x2)=

1

3

[-(x-1)2+1]，
∴x=1時(shí)，三棱錐C₁-ECF的體積最大，最大值為

1

3

．
（Ⅲ）解：當(dāng)C₁M=1時(shí)，有B₁M⊥C₁O．
理由如下：
若F為線段BC的中點(diǎn)，則C₁M=1=CF，
∴tan∠C1B1M=

1

2

=tan∠CC₁F，∴C₁F⊥B₁M，
∵FO為△ABC的中位線，∴FO∥AC，
∴FO⊥平面CBB₁C₁，∴FO⊥B₁M，
∵OF∩C₁F=F，∴B₁M⊥平面C₁OF，且C₁O?平面C₁OF，
∴B₁M⊥C₁O．

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面與平面垂直的證明，考查三棱錐體積最大值的求法，考查滿足條件的點(diǎn)是否存在的判斷與求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．