已數(shù)列{an}滿足a1=1，a2=3，an+2=（1+2|cos
nπ
2
|）an+|sin
nπ
2
|，n∈N*．
（1）證明：數(shù)列{a2k}（k∈N*）為等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（3）bn=
1
a2n
+（-1）n-1•（
1
4
）a2n-1，{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，求證Sn＜
23
30
．
考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的性質(zhì)
專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析：（1）令n=2k得a2k+2=3a2k，即可證明數(shù)列{a2k}（k∈N*）為等比數(shù)列；
（2）a2k=3k，利用a2k+1=a2k-1+1，即可求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（3）放縮，再利用等比數(shù)列的求和公式，即可證明結(jié)論．
解答： （1）證明：令n=2k得a2k+2=3a2k
又a2=3≠0
∴{a2k}為等比數(shù)列（3分）
（2）解：a2k=3k
又a2k+1=a2k-1+1=a2k-3+2=…=a1+k=k+1
∴an=
n+1
2
  (n為奇數(shù))
3
n
2
     (n為偶數(shù))
（7分）
（3）證明：bn=
1
3n
+(-1)n-1 • (
1
4
)n=
1
3n
+
1
4n
         (n為奇數(shù))
1
3n
-
1
4n
＜
1
3n
  (n為偶數(shù))

∴Sn＜
1
31
+
1
41
+
1
32
+
1
33
+
1
43
+
1
34
+…+
1
3n
+
1
4n
＜
1
3
1-
1
3
+
1
4
1-
1
42
=
1
2
+
4
15
=
23
30
（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的求和，考查不等式的證明，確定數(shù)列的通項(xiàng)是關(guān)鍵．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f′（x）是函數(shù)f（x）=x3+ax2+（a-6）x（a∈R）的導(dǎo)函數(shù)，若f′（x）滿足f′（x+1）=f′（1-x），則以下結(jié)論正確的是（　　）
A、函數(shù)f（x）的極大值為0
B、函數(shù)f（x）的極小值為5
C、函數(shù)f（x）的極大值為27
D、函數(shù)f（x）的極小值為-27

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A≠0，ω＞0，|φ|＜
π
2
）直線x=
2
3
π對(duì)稱，且它的最小正周期為π，則（　　）
A、f（x）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（0，
1
2
）
B、f（x）在區(qū)間[
5
12
π，
2
3
π]上是減函數(shù)
C、f（x）的最大值為A
D、f（x）的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是（
5
12
π，0）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知a為常數(shù)，函數(shù)f（x）=x2+aln（1+x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2（x1＜x2），則（　�。�
A、f（x2）＜
1-2ln2
4
B、f（x2）＞
1-2lnx
4
C、f（x2）＞
2ln2+3
8
D、f（x2）＜
3ln2+4
8

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)全集為R，A={x|x＜5}，B={x|y=
2x-8
}
（Ⅰ） 求A∩B
（Ⅱ） 求A∪（∁RB）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知a＞0，b＞0，a+b=1，則
1
a2
+
1
b2
的最小值為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=xlnx+1
（Ⅰ）若x＞0時(shí)，函數(shù)y=f（x）的圖象恒在直線y=kx上方，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（Ⅱ）證明：當(dāng)時(shí)n∈N*，ln（n+1）＞
1
2
+
1
3
+
1
4
+…+
1
n+1
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，圓柱OO1內(nèi)有一個(gè)三棱柱ABC-A1B1C1，三棱柱的底面為圓柱底面的內(nèi)接三角形，且AB是圓O直徑，AA1=AC=CB=2．E，F(xiàn)分別為AC，BC上的動(dòng)點(diǎn)，且CE=BF．
（Ⅰ）證明：平面A1ACC1⊥平面B1BCC1；
（Ⅱ）設(shè)CE=BF=x，當(dāng)x為何值時(shí)，三棱錐C1-ECF的體積最大，最大值為多少？
（Ⅲ）若F為線段BC的中點(diǎn)，請(qǐng)問CC1上是否存在點(diǎn)M，使得B1M⊥C1O，若存在請(qǐng)求出C1M的長(zhǎng)，若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=3x-x2，求方程f（x）=0在區(qū)間[-1，0]上實(shí)根的個(gè)數(shù)．

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同步練習(xí)冊(cè)答案