Question

15．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{3m}$+$\frac{{y}^{2}}{m}$=1（m＞0）的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2$\sqrt{6}$，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓C的方程和離心率；
（Ⅱ）設(shè)動(dòng)直線l與y軸相交于點(diǎn)B，點(diǎn)A（3，0）關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)P在橢圓C上，求|OB|的最小值．

Answer 1

分析 （I）由2$\sqrt{3m}$=2$\sqrt{6}$，解得m=2，可得橢圓C的方程，利用e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{m}{3m}}$，可得離心率．
（II）由題意可得：直線l的斜率存在，設(shè)點(diǎn)P（x₀，y₀）（y₀≠0），則線段AP的中點(diǎn)D$（\frac{{x}_{0}+3}{2}，\frac{{y}_{0}}{2}）$，且直線AP的斜率k_AP=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-3}$，由點(diǎn)A（3，0）關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為P，可得AP⊥l，可得k_l，可得直線l的方程為：$y-\frac{{y}_{0}}{2}$=$\frac{3-{x}_{0}}{{y}_{0}}$$（x-\frac{{x}_{0}+3}{2}）$，令x=0，解得B$（0，\frac{{x}_{0}^{2}+{y}_{0}^{2}-9}{2{y}_{0}}）$，由$\frac{{x}_{0}^{2}}{6}$+$\frac{{y}_{0}^{2}}{2}$=1，可得${x}_{0}^{2}$=6-3${y}_{0}^{2}$，可得|OB|=$\frac{2{y}_{0}^{2}+3}{2|{y}_{0}|}$=|y₀|+$\frac{3}{2|{y}_{0}|}$，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：（I）∵2$\sqrt{3m}$=2$\sqrt{6}$，解得m=2，
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{m}{3m}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
（II）由題意可得：直線l的斜率存在，設(shè)點(diǎn)P（x₀，y₀）（y₀≠0），
則線段AP的中點(diǎn)D$（\frac{{x}_{0}+3}{2}，\frac{{y}_{0}}{2}）$，且直線AP的斜率k_AP=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-3}$，
由點(diǎn)A（3，0）關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為P，∴AP⊥l，
∴k_l=$-\frac{{x}_{0}-3}{{y}_{0}}$，
∴直線l的方程為：$y-\frac{{y}_{0}}{2}$=$\frac{3-{x}_{0}}{{y}_{0}}$$（x-\frac{{x}_{0}+3}{2}）$，
令x=0，解得y=$\frac{{x}_{0}^{2}+{y}_{0}^{2}-9}{2{y}_{0}}$，則B$（0，\frac{{x}_{0}^{2}+{y}_{0}^{2}-9}{2{y}_{0}}）$，
由$\frac{{x}_{0}^{2}}{6}$+$\frac{{y}_{0}^{2}}{2}$=1，可得${x}_{0}^{2}$=6-3${y}_{0}^{2}$，可得B$（0，\frac{-2{y}_{0}^{2}-3}{2{y}_{0}}）$．
∴|OB|=$\frac{2{y}_{0}^{2}+3}{2|{y}_{0}|}$=|y₀|+$\frac{3}{2|{y}_{0}|}$≥$2\sqrt{|{y}_{0}|×\frac{3}{2|{y}_{0}|}}$=$\sqrt{6}$，當(dāng)且僅當(dāng)y₀=$±\frac{\sqrt{6}}{2}$時(shí)取等號(hào)．
∴|OB|的最小值為$\sqrt{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問(wèn)題、線段垂直平分線的性質(zhì)、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．