Question

3．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，點M在橢圓上，且滿足MF₂⊥x軸，$|{M{F_1}}|=\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若直線y=kx+2交橢圓于A，B兩點，求△ABO（O為坐標原點）面積的最大值．

Answer 1

分析 （I）運用離心率公式和a，b，c的關系，以及兩點的距離公式，解方程可得橢圓方程；
（II）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），將y=kx+2代入橢圓，可得x的方程，運用韋達定理和判別式大于0，求得三角形的面積，化簡整理，運用基本不等式即可得到所求最大值．

解答 解：（I）由已知得$\frac{c^2}{a^2}=\frac{1}{3}$，又由a²=b²+c²，
可得a²=3c²，b²=2c²，
得橢圓方程為$\frac{x^2}{{3{c^2}}}+\frac{y^2}{{2{c^2}}}=1$，
因為點M在第一象限且MF₂⊥x軸，
可得M的坐標為$（{c，\frac{{2\sqrt{3}}}{3}c}）$，
由$|{{F_1}M}|=\sqrt{4{c^2}+\frac{4}{3}{c^2}}=\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$，解得c=1，
所以橢圓方程為$\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1$；
（II）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
將y=kx+2代入橢圓，可得（3k²+2）x²+12kx+6=0，
由△＞0，即144k²-24（3k²+2）＞0，可得3k²-2＞0，
則有${x_1}+{x_2}=-\frac{12k}{{2+3{k^2}}}，{x_1}{x_2}=\frac{6}{{2+3{k^2}}}$
所以$|{{x_1}-{x_2}}|=\frac{{2\sqrt{18{k^2}-12}}}{{3{k^2}+2}}$，
因為直線y=kx+2與軸交點的坐標為（0，2），
所以△OAB的面積$S=\frac{1}{2}×2×|{{x_1}-{x_2}}|=\frac{{2\sqrt{（18{k^2}-12）}}}{{3{k^2}+2}}=\frac{{2\sqrt{6×（3{k^2}-2）}}}{{3{k^2}+2}}$，
令3k²-2=t，由①知t∈（0，+∞），
可得$S=2\frac{{\sqrt{6t}}}{t+4}=2\sqrt{\frac{6t}{{{t^2}+8t+16}}}=2\sqrt{\frac{6}{{t+\frac{16}{t}+8}}}≤\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，
所以t=4時，面積最大為$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$．

點評 本題考查橢圓方程的求法，注意運用離心率公式，考查三角形的面積的最值的求法，注意運用直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運用韋達定理和弦長公式，以及基本不等式，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．