Question

11．已知函數(shù)f（x）=|x-a|．
（1）若不等式f（x）≤9的解集為{x|-2≤x≤16}，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）在（1）的條件下，若不等式f（x）+f（x-1）≥m對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）解絕對(duì)值不等式求得它的解集，再根據(jù)不等式f（x）≤9的解集為{x|-2≤x≤16}，求出a的值．
（2）利用絕對(duì)值三角不等式求得f（x）+f（x-1）的最小值，從而得到實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=|x-a|，由不等式f（x）≤9，可得|x-a|≤9，
∴-9≤x-a≤9，即a-9≤x≤a+9．
再根據(jù)不等式f（x）≤9的解集為{x|-2≤x≤16}，可得 $\left\{\begin{array}{l}{a-9=-2}\\{a+9=16}\end{array}\right.$，∴a=7．
（2）在（1）的條件下，∵不等式f（x）+f（x-1）=|x-7|+|x-8|≥m對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，
而式f（x）+f（x-1）=|x-7|+|x-8|≥|x-7-（x-8）|=1，當(dāng)且僅當(dāng)7≤x≤8時(shí)，取等號(hào)，
故有1≥m，即m≤1，故實(shí)數(shù)m的取值范圍為（-∞，1]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法，絕對(duì)值三角不等式，函數(shù)的恒成立問(wèn)題，屬于中檔題．