Question

18．已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側棱垂直于底面，所有棱長都相等，若該三棱柱的頂點都在球O的表面上，且三棱柱的體積為$\frac{9}{4}$，則球O的表面積為7π．

Answer 1

分析 通過球的內接體，說明幾何體的中心是球的直徑，設出三棱柱的底面邊長，由棱柱的體積公式得到三棱柱的底面邊長，可得球的半徑，由球的表面積求出球的表面積．

解答 解：如圖，
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱長都相等，6個頂點都在球O的球面上，
∴三棱柱為正三棱柱，且其中心為球的球心，設為O，
設三棱柱的底面邊長為a，則
∵三棱柱的體積為$\frac{9}{4}$，∴$\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}•a$=$\frac{9}{4}$，∴a=$\sqrt{3}$．
設球的半徑為r，上底面所在圓的半徑為$\frac{\sqrt{3}}{3}$a=1，且球心O到上底面中心H的距離OH=$\frac{a}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴r=$\sqrt{1+\frac{3}{4}}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，
∴球O的表面積為4πr²=7π
故答案為：7π

點評 本題考查球的內接體與球的關系，球的半徑的求解，考查計算能力，是中檔題．