Question

3．已知在等差數(shù)列{a_n}中，a₁=3，前n項和為S_n，等比數(shù)列{b_n}各項均為正數(shù)，b₁=1，b₂+S₂=12，{b_n}的公比q=$\frac{S_2}{b_2}$．
（1）求a_n與b_n；
（2）求$\frac{1}{S_1}$+$\frac{1}{S_2}$+…+$\frac{1}{S_n}$．

Answer 1

分析 （1）由題意列方程，求得q和a₂，根據(jù)等比數(shù)列和等差數(shù)列通項公式即可求得a_n與b_n；
（2）由（1），求得S_n=$\frac{n（3+3n）}{2}$，則$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{2}{3n（n+1）}$=$\frac{2}{3}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），采用“裂項法”即可求得$\frac{1}{S_1}$+$\frac{1}{S_2}$+…+$\frac{1}{S_n}$．

解答 解：（1）由已知條件可知：$\left\{\begin{array}{l}{q+3+{a}_{2}=12}\\{q=\frac{3+{a}_{3}}{q}}\end{array}\right.$，
解得：q=3，q=-4（舍去），
a₂=6，
∴a_n=3+3（n-1）=3n，b_n=1•3^n-1，
∴a_n=3n，b_n=3^n-1，
（2）S_n=$\frac{n（3+3n）}{2}$，
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{2}{3n（n+1）}$=$\frac{2}{3}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
$\frac{1}{S_1}$+$\frac{1}{S_2}$+…+$\frac{1}{S_n}$=$\frac{2}{3}$（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）．
=$\frac{2}{3}$（1-$\frac{1}{n+1}$），
=$\frac{2n}{3（n+1）}$，
∴$\frac{1}{S_1}$+$\frac{1}{S_2}$+…+$\frac{1}{S_n}$=$\frac{2n}{3（n+1）}$．

點評 本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列通項公式，考查“裂項法”求數(shù)列的前n項和，考查計算能力，屬于中檔題．