Question

15．已知函數(shù)f（x）=lnx-a（x-1）（a∈R）
（Ⅰ）若a=1，求證：當(dāng)x＞0時，f（x）≤0；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）求證：（1+$\frac{1}{2}$）（1+$\frac{1}{4}$）…（1+$\frac{1}{{2}^{n}}$）＜e．

Answer 1

分析 （Ⅰ）將a=1代入f（x），得到f（x）的導(dǎo)數(shù)，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而證出f（x）≤0；
（Ⅱ）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的符號，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（Ⅲ）根據(jù)lnx＜x-1，（x＞1），令t=x-1，則x=t+1，得到ln（t+1）＜t，（t＞0），分別取t=$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$，…，$\frac{1}{{2}^{n}}$，得到：ln（1+$\frac{1}{2}$）＜$\frac{1}{2}$，ln（1+$\frac{1}{4}$）＜$\frac{1}{4}$，…，ln（1+$\frac{1}{{2}^{n}}$）＜$\frac{1}{{2}^{n}}$，相加即可．

解答 解：（Ⅰ）證明：a=1時，f（x）=lnx-x+1，
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$-1=$\frac{1-x}{x}$，
當(dāng)x≥1時，f′（x）≤0，函數(shù)f（x）在[1，+∞）遞減，即f（x）≤f（1）=0，
當(dāng)0＜x＜1時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在（0，1）遞增，∴f（x）＜f（1）=0，
綜上，x＞0時且a=1時，f（x）≤0；
（Ⅱ）∵f′（x）=$\frac{1}{x}$-a=$\frac{1-ax}{x}$，
當(dāng)a≤0時，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）遞增，
當(dāng)a＞0時，f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）遞增，在（$\frac{1}{a}$，+∞）遞減；
（Ⅲ）要證（1+$\frac{1}{2}$）（1+$\frac{1}{4}$）…（1+$\frac{1}{{2}^{n}}$）＜e，
兩邊取以e為底的對數(shù)，
即只需證ln（1+$\frac{1}{2}$）+ln（1+$\frac{1}{4}$）+…+ln（1+$\frac{1}{{2}^{n}}$）＜1，
由（Ⅰ）可得，lnx＜x-1，（x＞1），令t=x-1，則x=t+1，
∴l(xiāng)n（t+1）＜t，（t＞0），
分別取t=$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$，…，$\frac{1}{{2}^{n}}$，得到：
ln（1+$\frac{1}{2}$）＜$\frac{1}{2}$，ln（1+$\frac{1}{4}$）＜$\frac{1}{4}$，…，ln（1+$\frac{1}{{2}^{n}}$）＜$\frac{1}{{2}^{n}}$，
將上述n個不等式相加，得：
ln（1+$\frac{1}{2}$）+ln（1+$\frac{1}{4}$）+…+ln（1+$\frac{1}{{2}^{n}}$）＜$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$＜1．

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查不等式問題，是一道中檔題．